Đề bài

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với :

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \sqrt {2023} \\{u_{n + 1}} = \sqrt {2023 + {u_n}} ,\forall n \in {N^*}\end{array} \right.\)

• A. Dãy số tăng.
• B. Dãy số giảm.
• C. Dãy số không tăng không giảm.
• D. Dãy số vừa tăng vừa giảm.

Phương pháp giải

‒ Sử dụng định nghĩa: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\). Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu \({u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

‒ Sử dụng phương pháp quy nạp toán học:

Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với \(n = 1\).

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì \(n = k \ge 1\) (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh nó cũng đúng với \(n = k + 1\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta sẽ chứng minh \({u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Với \(n = 1\): \({u_1} = \sqrt {2023} ,{u_2} = \sqrt {2023 + \sqrt {2023} } \)

Ta có \(\sqrt {2023}  > 0 \Leftrightarrow 2023 + \sqrt {2023}  > 2023 \Leftrightarrow \sqrt {2023 + \sqrt {2023} }  > \sqrt {2023}  \Leftrightarrow {u_2} > {u_1}\)

Vậy mệnh đề đúng với \(n = 1\).

Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), tức là \({u_{k + 1}} > {u_k}\). Ta phải chứng minh \({u_{k + 2}} > {u_{k + 1}}\).

Thật vậy, ta có:

\({u_{k + 1}} > {u_k} \Leftrightarrow 2023 + {u_{k + 1}} > 2023 + {u_k} \Leftrightarrow \sqrt {2023 + {u_{k + 1}}}  > \sqrt {2023 + {u_k}}  \Leftrightarrow {u_{k + 2}} > {u_{k + 1}}\)

Vậy mệnh đề đúng với \(n = k + 1\). Do đó \({u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)

Vậy \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\). Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

Đáp án : A