Đề bài

Cho tổng \(S\left( n \right) = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}\). Khi đó công thức của \(S\left( n \right)\) là:

• A. \(S\left( n \right) = \frac{1}{{{2^n}}}\).
• B. \(S\left( n \right) = \frac{{2n}}{{2n + 1}}\).
• C. \(S\left( n \right) = \frac{n}{{n + 1}}\).
• D. \(S\left( n \right) = \frac{n}{{n + 2}}\).

Phương pháp giải

Tách \(\frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} = \frac{1}{k} - \frac{1}{{k + 1}}\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

\(\begin{array}{l}S\left( n \right) = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{2 - 1}}{{1.2}} + \frac{{3 - 2}}{{2.3}} + \frac{{4 - 1}}{{3.4}} + ... + \frac{{\left( {n + 1} \right) - n}}{{n\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}} = 1 - \frac{1}{{n + 1}} = \frac{{n + 1 - 1}}{{n + 1}} = \frac{n}{{n + 1}}\end{array}\)

Đáp án : C