Đề bài

Dãy số nào trong các dãy số sau là dãy số tăng?

• A. \({u_n} = \frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}}\).
• B. \({u_n} = \frac{1}{n} - 2\).
• C. \({u_n} = {3^n} - n\).
• D. \({u_n} = \frac{n}{{{n^2} + 1}}\).

Phương pháp giải

Xét tính tăng, giảm của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\):

Bước 1: Tìm \({u_{n + 1}}\).

Bước 2: Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) hoặc xét thương \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\) nếu các số hạng của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là số dương.

Bước 3: Kết luận:

– Nếu \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0\) hoặc \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} > 1\) thì \({u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

– Nếu \({u_{n + 1}} - {u_n} < 0\) hoặc \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} < 1\) thì \({u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Với \({u_n} = {3^n} - n\), ta có: \({u_{n + 1}} = {3^{n + 1}} - \left( {n + 1} \right) = {3^{n + 1}} - n - 1\)

Xét hiệu:

\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {{3^{n + 1}} - n - 1} \right) - \left( {{3^n} - n} \right) = {3^{n + 1}} - n - 1 - {3^n} + n = {3^{n + 1}} - {3^n} - 1\\ = {3^n}\left( {3 - 1} \right) - 1 = {2.3^n} - 1 > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

Vậy \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\). Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

Đáp án : C