Đề bài

Cho dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ thoả mãn điều kiện ${x_1} = 1,{x_{n + 1}} - {x_n} = \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}},n = 1,2,3,...$ Số hạng ${x_{2023}}$ bằng:

• A. ${x_{2023}} = \frac{{4044}}{{2023}}$.
• B. ${x_{2023}} = \frac{{4045}}{{2023}}$.
• C. ${x_{2023}} = \frac{{4046}}{{2023}}$.
• D. ${x_{2023}} = \frac{{4047}}{{2023}}$.

Phương pháp giải

Biến đổi ${x_{n + 1}} - {x_n} = \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: ${x_{n + 1}} - {x_n} = \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{\left( {n + 1} \right) - n}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}$.

Khi đó:

${x_2} - {x_1} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2}$

${x_3} - {x_2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$

${x_4} - {x_3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$

...

${x_{2023}} - {x_{2022}} = \frac{1}{{2022}} - \frac{1}{{2023}}$

Cộng vế trái của các phương trình trên ta được:

$({x_2} - {x_1}) + ({x_3} - {x_2}) + ({x_4} - {x_3}) + ... + ({x_{2022}} - {x_{2021}}) + ({x_{2023}} - {x_{2022}})$

$= ({x_2} - {x_2}) + ({x_3} - {x_3}) + ({x_4} - {x_4}) + ... + ({x_{2022}} - {x_{2022}}) + {x_{2023}} - {x_1}$

$= {x_{2023}} - {x_1}$.

Cộng vế phải của các phương trình trên ta được:

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2021}} - \frac{1}{{2022}} + \frac{1}{{2022}} - \frac{1}{{2023}} = 1 - \frac{1}{{2023}}$.

Suy ra:

${x_{2023}} - {x_1} = 1 - \frac{1}{{2023}} \Leftrightarrow {x_{2023}} = {x_1} + 1 - \frac{1}{{2023}} = 1 + 1 - \frac{1}{{2023}} = \frac{{4045}}{{2023}}$.

Đáp án : B