Đề bài

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 3\end{array} \right.,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Tìm số hạng tổng quát \({u_n}\) của dãy số.

• A. \({u_n} = {2^n} + 3\).
• B. \({u_n} = {3.2^{n + 1}}\).
• C. \({u_n} = {3.2^{n - 1}}\).
• D. \({u_n} = {2^{n + 1}} - 3\).

Phương pháp giải

Tìm điểm chung của các số hạng của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đặt \({v_n} = {u_n} + 3\). Ta có:

\(\begin{array}{l}{v_1} = {u_1} + 3 = 1 + 3 = 4\\{v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} + 3 = \left( {2{u_n} + 3} \right) + 3 = 2\left( {{u_n} + 3} \right) = 2{v_n}\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{v_1} = 4\\{v_2} = 2{v_1}\\{v_3} = 2{v_2} = 2.\left( {2{v_1}} \right) = {2^2}.{v_1}\\{v_4} = 2{v_3} = 2.\left( {{2^2}.{v_1}} \right) = {2^3}.{v_1}\\{v_5} = 2{v_4} = 2.\left( {{2^3}.{v_1}} \right) = {2^4}.{v_1}\\...\\{v_n} = 2{v_{n - 1}} = 2.\left( {{2^{n - 2}}.{v_1}} \right) = {2^{n - 1}}.{v_1} = {4.2^{n - 1}} = {2^{n + 1}}\end{array}\)

\( \Rightarrow {u_n} = {v_n} - 3 = {2^{n + 1}} - 3\)

Đáp án : D