Đề bài

Cho dãy số có các số hạng đầu là: 5; 10; 15; 20; 25; … Số hạng tổng quát của dãy số này là:

• A. \({u_n} = 5\left( {n - 1} \right)\)
• B. \({u_n} = 5n\)
• C.  \({u_n} = 5 + n\)  
• D. \({u_n} = 5.n + 1\)

Phương pháp giải

Tìm quy luật các số hạng của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Cách 1:

\({u_1} = 5 = 5.1\);

\({u_2} = 10 = 5.2\);

\({u_3} = 15 = 5.3\);

\({u_4} = 20 = 5.4\);

\({u_5} = 25 = 5.5\).

Vậy \({u_n} = 5n\).

Cách 2:

Dễ thấy dãy số trên là một cấp số cộng với \({u_1} = 5 \), công sai \(d = 5\).

Số hạng tổng quát của cấp số cộng trên là:

\({u_n} = {u_1} + (n - 1)d = 5(n - 1) + 5 = 5n - 5 + 5 = 5n\).

Đáp án : B

Mở rộng

Phương pháp tìm số hạng tổng quát

Bước 1: Từ công thức truy hồi, tìm các số hạng đầu tiên của dãy số.

Bước 2: Đặt:

\(\Delta {u_k} = {u_{k + 1}} - {u_k}\);

\({\Delta ^2}{u_k} = \Delta {u_{k + 1}} - \Delta {u_k}\);

\({\Delta ^3}{u_k} = {\Delta ^2}{u_{k + 1}} - {\Delta ^2}{u_k}\);

…

Ta lập bảng các giá trị \(\Delta {u_k}\), \({\Delta ^2}{u_k}\), \({\Delta ^3}{u_k}\),… đến hàng có giá trị không đổi thì dừng lại, sau đó kết luận \({u_n}\) là đa thức bậc tương ứng 1, 2, 3,… và đi tìm đa thức đó.

- Nếu \(\Delta {u_k}\) không đổi thì số hạng tổng quát của dãy số là \({u_n} = an + b\) \(\left( {a \ne 0} \right)\).

- Nếu \({\Delta ^2}{u_k}\) không đổi thì số hạng tổng quát của dãy số là \({u_n} = a{n^2} + bn + c\) \(\left( {a \ne 0} \right)\).

- Nếu \({\Delta ^3}{u_k}\) không đổi thì số hạng tổng quát của dãy số là \({u_n} = a{n^3} + b{n^2} + cn + d\) \(\left( {a \ne 0} \right)\).

Bước 3: Từ các số hạng \({u_1}\), \({u_2}\), \({u_3}\),… đã tìm, lập hệ phương trình để tìm các hệ số a, b, c, d,…

Chú ý: Có k hệ số cần tìm thì cần giải hệ k phương trình.