Đề bài

Dãy số nào trong các dãy số sau là dãy số bị chặn?

• A. \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\left( {{2^n} + 1} \right)\).
• B. \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\).
• C. \({u_n} = {n^2} - 4n + 3\).
• D. \({u_n} = {n^3} + \sqrt n  + 1\).

Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa:

• Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số \(M\) sao cho \({u_n} \le M,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

• Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số \(m\) sao cho \({u_n} \ge m,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

• Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại các số \(M\) và \(m\) sao cho \(m \le {u_n} \le M,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Với \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 3}}{{n + 1}} = 2 - \frac{3}{{n + 1}}\)

\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:

\(n + 1 > 0 \Leftrightarrow \frac{3}{{n + 1}} > 0 \Leftrightarrow 2 - \frac{3}{{n + 1}} < 2 \Leftrightarrow {u_n} < 2\). Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên.

\(n \ge 1 \Leftrightarrow n + 1 \ge 1 + 1 \Leftrightarrow n + 1 \ge 2 \Leftrightarrow \frac{3}{{n + 1}} \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2 - \frac{3}{{n + 1}} \ge 2 - \frac{3}{2} \Leftrightarrow {u_n} \ge \frac{1}{2}\)

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới.

Ta thấy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.

Đáp án : B