Đề bài

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ xác định bởi công thức ${u_n} = \frac{{n - 1}}{{2n + 1}}$. Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là:

• A. Dãy số tăng.
• B. Dãy số giảm.
• C. Dãy số không tăng không giảm.
• D. Dãy số vừa tăng vừa giảm.

Phương pháp giải

Xét tính tăng, giảm của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$:

Bước 1: Tìm ${u_{n + 1}}$.

Bước 2: Xét hiệu ${u_{n + 1}} - {u_n}$ hoặc xét thương $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$ nếu các số hạng của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là số dương.

Bước 3: Kết luận:

– Nếu ${u_{n + 1}} - {u_n} > 0$ hoặc $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} > 1$ thì ${u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$, vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng.

– Nếu ${u_{n + 1}} - {u_n} < 0$ hoặc $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} < 1$ thì ${u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$, vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số giảm.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: ${u_{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right) - 1}}{{2\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{{n + 1 - 1}}{{2n + 2 + 1}} = \frac{n}{{2n + 3}}$

Xét hiệu:

$\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{n}{{2n + 3}} - \frac{{n - 1}}{{2n + 1}} = \frac{{n\left( {2n + 1} \right) - \left( {n - 1} \right)\left( {2n + 3} \right)}}{{\left( {2n + 3} \right)\left( {2n + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2{n^2} + n} \right) - \left( {2{n^2} - 2n + 3n - 3} \right)}}{{\left( {2n + 3} \right)\left( {2n + 1} \right)}}\\ = \frac{{2{n^2} + n - 2{n^2} + 2n - 3n + 3}}{{\left( {2n + 3} \right)\left( {2n + 1} \right)}} = \frac{3}{{\left( {2n + 3} \right)\left( {2n + 1} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}$

Vậy ${u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}$. Vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng.

Đáp án : A