Đề bài

Tìm số nghiệm có dạng \(\frac{{m\pi }}{3},\,m \in \mathbb{Z}\) trên đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\) của phương trình \(1 + \sin x + \cos x + \sin 2x + \cos 2x = 0\).

• A. \(4\).
• B. \(1\).
• C. \(2\).
• D. \(0\).

Phương pháp giải

Dùng công thức lượng giác biến đổi phương trình về dạng phương trình tích

\(1 + \sin 2x = {\cos ^2}x + {\sin ^2}x + 2{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}{\rm{.cos}}x = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2}\)

\(\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

\(1 + \sin x + \cos x + \sin 2x + \cos 2x = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x + 2{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}{\rm{.cos}}x} \right) + \left( {\sin x + \cos x} \right) + \left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} + \left( {\sin x + \cos x} \right) + \left( {\cos x - \sin x} \right).\left( {\sin x + \cos x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left[ {\sin x + \cos x + 1 + \cos x - \sin x} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \cos x = 0\\2\cos x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\\\cos x =  - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \\x =  \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,\,\,k \in \mathbb{Z}\)Vì \(x \in \left[ {0;2\pi } \right] \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{{3\pi }}{4};\frac{{7\pi }}{4};\frac{{2\pi }}{3};\frac{{4\pi }}{3}} \right\}\)

Đáp án : C