Đề bài

Tìm tập nghiệm của bất phương trình \({\tan ^2}\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \frac{{1 + \sin x}}{{\sin x}}\).

• A. \(\left\{ {\frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}; - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
• B. \(\left\{ { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
• C. \(\left\{ {\frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3},\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
• D. \(\left\{ {\frac{\pi }{6} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Phương pháp giải

Dùng công thức lượng giác biến đổi phương trình về dạng phương trình tích

\(\tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cot x = \frac{{{\rm{cosx}}}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}\);\({\cos ^2}x - {\sin ^2}x = \cos 2x\);\(\cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Điều kiện : \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\)

\(\begin{array}{l}{\tan ^2}\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \frac{{1 + \sin x}}{{\sin x}} \Leftrightarrow {\cot ^2}x = \frac{{1 + \sin x}}{{\sin x}} \Leftrightarrow \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{1 + \sin x}}{{\sin x}}\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}x = \left( {1 + \sin x} \right)\sin x \Leftrightarrow {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = \sin x \Leftrightarrow \cos 2x = \sin x\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \cos 2x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \\2x = x - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3},\,k \in \mathbb{Z}\)

Đáp án : C