Đề bài

Gọi \({x_1};\,{x_2}\) lần lượt là các nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) của phương trình \(\tan x + \cot x = 2\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)\). Tính tổng \(S = 2{x_1} + {x_2}\).

• A. \(S =  - \frac{\pi }{2}\).
• B. \(S = \frac{\pi }{2}\).
• C. \(S = \pi \).
• D. \(S = 2\pi \).

Phương pháp giải

Biến đổi phương trình về phương trình dạng tích

\(\begin{array}{l}\tan x + \cot x = \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}} = \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{i}}{{\rm{n}}^2}{\rm{x + }}{{\cos }^2}x}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}.\cos x}} = \frac{2}{{\sin 2x}}\\{\sin ^2}2x + {\cos ^2}2x = 1\end{array}\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}\)

\(\tan x + \cot x = 2\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right) \Leftrightarrow \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}} = 2\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{i}}{{\rm{n}}^2}{\rm{x + }}{{\cos }^2}x}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}.\cos x}} = 2\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right) \Leftrightarrow \frac{2}{{\sin 2x}} = 2\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)\)

\( \Leftrightarrow 1 = \sin 2x\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right) \Leftrightarrow {\sin ^2}2x + {\cos ^2}2x = \sin 2x\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)\)

\( \Leftrightarrow \cos 2x\left( {\sin 2x - \cos 2x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\sin 2x - \cos 2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\)

Vì \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow x \in \left\{ { - \frac{{3\pi }}{8}; - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{8};\frac{\pi }{4}} \right\} \Rightarrow {x_1} =  - \frac{{3\pi }}{8},\,\,{x_2} = \frac{\pi }{4} \Rightarrow S =  - \frac{\pi }{2}\)

Đáp án : A