Đề bài

Cho \(f\left( x \right) = \frac{{\cos 2x}}{{1 + {{\sin }^2}3x}},\,\,g\left( x \right) = \frac{{\left| {\sin 2x} \right| - \cos 3x}}{{2 + {{\tan }^2}x}}\). Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau đây?

• A. \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) lẻ
• B. \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) chẵn
• C. \(f\left( x \right)\) chẵn, \(g\left( x \right)\) lẻ
• D. \(f\left( x \right)\) lẻ, \(g\left( x \right)\) chẵn

Phương pháp giải

Ta thực hiện theo các bước sau:

Tìm tập xác định \(D\)  của hàm số, khi đó:

Nếu \(D\)  là tập đối xứng (tức là \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\)), ta thực hiện tiếp bước 2.

Nếu \(D\)  không phải là tập đối xứng (tức là \(\exists x \in D\) mà \( - x \notin D\)), ta kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.

Xác định \(f\left( { - x} \right)\) , khi đó:

Nếu \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\) kết luận hàm số là hàm chẵn.

Nếu \(f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)\) kết luận hàm số là hàm lẻ.

Ngoài ra kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

• \(f\left( x \right) = \frac{{\cos 2x}}{{1 + {{\sin }^2}3x}}\)

Vì \(1 + {\sin ^2}3x > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) nên tập xác định của \(f\left( x \right)\) là: \(D = \mathbb{R}\), đây là tập đối xứng.

Ta có: \(\forall x \in D:\,\,f\left( { - x} \right) = \frac{{\cos \left( { - 2x} \right)}}{{1 + {{\sin }^2}\left( { - 3x} \right)}} = \frac{{\cos 2x}}{{1 + {{\sin }^2}3x}} = f\left( x \right)\)

Vậy \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn.

• \(g\left( x \right) = \frac{{\left| {\sin x} \right| - \cos 3x}}{{2 + {{\tan }^2}x}}\)

Điều kiện cần và đủ là \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\). Do đó tập xác định của \(f\left( x \right)\) là: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\), đây là tập đối xứng.

\(\forall x \in D\), ta có: \(g\left( { - x} \right) = \frac{{\left| {\sin \left( { - x} \right)} \right| - \cos \left( { - 3x} \right)}}{{2 + {{\tan }^2}\left( { - x} \right)}} = \frac{{\left| { - \sin x} \right| - \cos 3x}}{{2 + {{\tan }^2}x}} = \frac{{\left| {\sin x} \right| - \cos 3x}}{{2 + {{\tan }^2}x}} = g\left( x \right)\)

Vậy \(g\left( x \right)\) là hàm số chẵn.

Đáp án : B