Đề bài

Xét sự biến thiên của hàm số \(y = \sin x - \cos x.\) Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng?

• A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{4};\,\frac{{3\pi }}{4}} \right).\)                     
• B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{{3\pi }}{4};\,\frac{{7\pi }}{4}} \right).\)                     
• C. Hàm số đã cho có tập giá trị là\(\left[ { - 1;\,\,1} \right].\)                                                             
• D. Hàm số đã cho luôn nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{4};\,\frac{{7\pi }}{4}} \right).\)

Phương pháp giải

-Biến đổi \(\sin x - \cos x = \sqrt 2 sin\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right).\)

-Xác định chu kì tuần hoàn của hàm số và suy ra các khoảng đơn điệu của hàm số

- Hàm số \(y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\) đồng (nghịch) biến trên \(\left( {a;b} \right)\) thì hàm số \(y = \sin (x - k)\) sẽ đồng (nghịch) biến trên khoảng \(\left( {a + k;b + k} \right)\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có \(\sin x - \cos x = \sqrt 2 sin\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\) nên tập giá trị của hàm số là \(\left[ { - \sqrt 2 ;\,\sqrt 2 } \right]\) do đó loại

C

Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ \(2\pi \), ta xét sự biến thiên của hàm số trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\,\frac{{7\pi }}{4}} \right].\)

Ta áp dụng kết quả sau

“Hàm số \(y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\) đồng (nghịch) biến trên \(\left( {a;b} \right)\) thì hàm số \(y = \sin (x - k)\) sẽ đồng (nghịch) biến trên khoảng \(\left( {a + k;b + k} \right)\)”

- Hàm số \(y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\) đồng biến trên \(\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)\)

Thay \(a =  - \frac{\pi }{2};b = \frac{\pi }{2},k = \frac{\pi }{4}\)  khi đó hàm số

\(y = \sin (x - k) = \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = \left( { - \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right)\)

Suy ra A đúng

- Hàm số \(y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\) nghịch biến trên \(\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)\)

Thay \(a = \frac{\pi }{2};b = \frac{{3\pi }}{2},k = \frac{\pi }{4}\)  khi đó hàm số

\(y = \sin (x - k) = \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = \left( {\frac{{3\pi }}{4};\frac{{7\pi }}{4}} \right)\)

Suy ra loại B,D

Đáp án cần chọn là A

Đáp án : A