Đề bài

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - \frac{{3\pi }}{2};2\pi } \right]\) của phương trình \(3f\left( {\cos 2x} \right) - 4 = 0\) là

• A. \(14\).
• B. \(3\).
• C. \(11\).
• D. \(16\).

Phương pháp giải

Giao điểm của đồ thị hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( x \right)\) và \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}g\left( x \right)\) có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( x \right)\) và \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}g\left( x \right)\).

Phương trình hoành độ giao điểm: cho \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) (1)

Số giao điểm của 2 đồ thị bằng nghiệm của phương trình (1).

Tương giao đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và trục hoành

Ta có phương trình hoành độ giao điểm như sau: \(f\left( x \right) = 0\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đặt \(t = \cos 2x,\, - 1 \le t \le 1\)

Phương trình \(3f\left( {\cos 2x} \right) - 4 = 0\) trở thành \(3f\left( t \right) - 4 = 0 \Leftrightarrow f\left( t \right) = \frac{4}{3}\).

Từ bảng biến thiên ta có \(t = 1,\,t = a \in \left( { - 1;0} \right)\).

Ta có bảng biến thiên của \(y = \cos x\) trên \(\left[ { - \frac{{3\pi }}{2};2\pi } \right]\)

* Với \(t = 1 \Rightarrow \cos 2x = 1 \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x = 2 \Leftrightarrow \cos x =  \pm 1\)

Từ bảng biến thiên của hàm \(y = \cos x\) trên \(\left[ { - \frac{{3\pi }}{2};2\pi } \right]\) ta có \(\cos x =  \pm 1\) có bốn nghiệm phân biệt

* Với \(t = a,\,a \in \left( { - 1;0} \right) \Rightarrow \cos 2x = a \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x = a + 1 \Leftrightarrow \cos x =  \pm \sqrt {\frac{{a + 1}}{2}} \)

Khi đó, từ bảng biến thiên của hàm \(y = \cos x\) trên \(\left[ { - \frac{{3\pi }}{2};2\pi } \right]\) ta có \(\cos x = \sqrt {\frac{{a + 1}}{2}} \, \in \left( {0;1} \right)\) có ba nghiệm phân biệt; \(\cos x =  - \sqrt {\frac{{a + 1}}{2}} \, \in \left( { - 1;0} \right)\) có bốn nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình có \(11\) nghiệm.

Đáp án : C