Đề bài

Tập xác định của hàm số \(y = \cot \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) + \sqrt {\frac{{1 + \cos x}}{{1 - \cos x}}} \) là:

• A. \(D = R\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{6} + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
• B. \(D = R\backslash \left\{ {\frac{{5\pi }}{6} + k\pi ,k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
• C. \(D = R\backslash \left\{ {k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
• D. \(D = R\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{6} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Phương pháp giải

\(y = \sqrt {u\left( x \right)} \)  có nghĩa khi và chỉ khi \(u\left( x \right)\) xác định và \(u(x) \ge 0\).

\(y = \frac{{u(x)}}{{v(x)}}\) có nghĩa khi và chỉ \(u\left( x \right)\), \(v\left( x \right)\) xác định và \(v(x) \ne 0\).

\(y = \frac{{u(x)}}{{\sqrt {v(x)} }}\) có nghĩa khi và chỉ \(u\left( x \right)\), \(v\left( x \right)\) xác định và \(v(x) > 0\).

Hàm số \(y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}},\,\,y = c{\rm{osx}}\)xác định trên \(\mathbb{R}\) và tập giá trị của nó là: \( - 1 \le \sin x \le 1; - 1 \le \cos x \le 1\).

Như vậy, \(y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\left[ {{\rm{u}}\left( x \right)} \right],\,\,y = c{\rm{os}}\left[ {u\left( x \right)} \right]\) xác định khi và chỉ khi \(u\left( x \right)\)  xác định.

\(y = \tan u\left( x \right)\) có nghĩa khi và chỉ khi \(u\left( x \right)\) xác định và \(u\left( x \right) \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

\(y = \cot u\left( x \right)\) có nghĩa khi và chỉ khi \(u\left( x \right)\) xác định và \(x \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Vì \( - 1 \le \cos x \le 1\) nên \(1 + \cos x \ge 0\).

Suy ra để \(\frac{{1 + \cos x}}{{1 - \cos x}} \ge 0\) thì \(1 - \cos x > 0\) (cả tử và mẫu phải cùng dương vì tử dương).

Mà \(1 - \cos x \ge 0\) nên hàm số xác định

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) \ne 0}\\{1 - \cos x \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + \frac{\pi }{6} \ne k\pi }\\{x \ne k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne  - \frac{\pi }{6} + k\pi }\\{x \ne k2\pi }\end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Vì \(x =  - \frac{\pi }{6} + k\pi \) và \(x = \frac{{5\pi }}{6} + k\pi \) là cùng một họ nghiệm nên ta kết luận tập xác định của hàm số:

\(D = R\backslash \left\{ {\frac{{5\pi }}{6} + k\pi ,k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Đáp án : B