Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có các góc thỏa mãn \(\sin \left( A \right) + \sin \left( B \right) = \cos \left( A \right) + \cos \left( B \right)\). Tính số đo góc \(C\) của tam giác \(ABC\)

• A. \({30^0}\)
• B. \({90^0}\)
• C. \({60^0}\)
• D. \({40^0}\)

Phương pháp giải

Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích, công thức lượng giác của các cung đặc biệt để biến đổi dữ kiện đề cho.

\(\begin{array}{l}\sin \left( \alpha  \right) + \sin \left( \beta  \right) = 2\sin \left( {\frac{{\alpha  + \beta }}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{\alpha  - \beta }}{2}} \right)\\\cos \left( \alpha  \right) + \cos \left( \beta  \right) = 2\cos \left( {\frac{{\alpha  + \beta }}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{\alpha  - \beta }}{2}} \right)\end{array}\)

Tổng ba góc trong một tam giác bằng \({180^0}\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

\(\sin \left( A \right) + \sin \left( B \right) = \cos \left( A \right) + \cos \left( B \right) \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{A - B}}{2}} \right) = \cos \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{A - B}}{2}} \right)\) \(\left( 1 \right)\)

Nếu: \(\cos \left( {\frac{{A - B}}{2}} \right) = 0 \Rightarrow \frac{{A - B}}{2} = {90^0} \Rightarrow A - B = {180^0} = A + B + C \Leftrightarrow 2B + C = 0\)vô lý

Nếu: \(\cos \left( {\frac{{A - B}}{2}} \right) \ne 0\) khi đó

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) = \cos \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) = \sin \left( {\frac{C}{2}} \right)\) do \(\frac{{A + B}}{2} + \frac{C}{2} = {90^0}\)

\( \Rightarrow \frac{{A + B}}{2} = \frac{C}{2} \Leftrightarrow A + B = C \Leftrightarrow {180^0} - C = C \Rightarrow C = {90^0}\)

Đáp án : B