Đề bài

Cho góc lượng giác \(\alpha \) thỏa mãn \(\frac{{\sin \left( {2\alpha } \right) + \sin \left( {5\alpha } \right) - \sin \left( {3\alpha } \right)}}{{2{{\cos }^2}\left( {2\alpha } \right) + \cos \left( \alpha  \right) - 1}} =  - 2\). Tính\(\sin \left( \alpha  \right)\).

• A. \( - 1\)
• B. \(0\)
• C. 1
• D. \(\frac{{ - 1}}{2}\)

Phương pháp giải

Áp dụng công thức nhân đôi, công thức hạ bậc và công thức biến tổng thành tích.

\(\sin \left( {2\alpha } \right) = 2\sin \left( \alpha  \right)\cos \left( \beta  \right)\)

\(\frac{{1 + \cos \left( {2x} \right)}}{2} = {\cos ^2}\left( x \right)\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

\(\begin{array}{l}\frac{{\sin \left( {2\alpha } \right) + \sin \left( {5\alpha } \right) - \sin \left( {3\alpha } \right)}}{{2{{\cos }^2}\left( {2\alpha } \right) + \cos \left( \alpha  \right) - 1}} =  - 2\\ \Leftrightarrow \frac{{2\sin \left( \alpha  \right)\cos \left( \alpha  \right) + 2\cos \left( {4\alpha } \right)\sin \left( \alpha  \right)}}{{2.\frac{{1 + \cos \left( {4\alpha } \right)}}{2} + \cos \left( \alpha  \right) - 1}} =  - 2\\ \Leftrightarrow \frac{{2\sin \left( \alpha  \right)\cos \left( \alpha  \right) + 2\cos \left( {4\alpha } \right)\sin \left( \alpha  \right)}}{{\cos \left( {4\alpha } \right) + \cos \left( \alpha  \right)}} =  - 2\\ \Leftrightarrow \frac{{2\sin \left( \alpha  \right)\left[ {\cos \left( \alpha  \right) + \cos \left( {4\alpha } \right)} \right]}}{{\cos \left( {4\alpha } \right) + \cos \left( \alpha  \right)}} =  - 2\\ \Leftrightarrow 2\sin \left( \alpha  \right) =  - 2\\ \Leftrightarrow \sin \left( \alpha  \right) =  - 1\end{array}\)

Đáp án : A