Đề bài

Cho \(\cot \left( \alpha  \right) = \frac{2}{3}\). Tính \(\sin \left( {2\alpha  + \frac{{7\pi }}{4}} \right)\)

• A. \(\frac{{17\sqrt 2 }}{{26}}\)
• B. \( - \frac{{17\sqrt 2 }}{{26}}\)
• C. \(\frac{{\sqrt 2 }}{{26}}\)
• D. \( - \frac{{\sqrt 2 }}{{26}}\)

Phương pháp giải

Sử dụng công thức nhân đôi:

\(\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha \); \(\cos 2\alpha  = {\cos ^2}\alpha  - {\sin ^2}\alpha \).

Sử dụng công thức:

\(1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\).

Sử dụng công thức cộng:

\(\sin \left( {a - b} \right) = \sin \left( a \right)\cos \left( b \right) - \cos \left( a \right)\sin \left( b \right)\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Từ \(\cot \left( \alpha  \right) = \frac{2}{3} \Rightarrow \tan \left( \alpha  \right) = \frac{3}{2}\).

Ta có:

\(\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha  = 2\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}{\cos ^2}\alpha  = 2\tan \alpha \frac{1}{{{{\tan }^2}\alpha  + 1}}\)

\( = \frac{{2\tan \alpha }}{{{{\tan }^2}\alpha  + 1}} = \frac{{2.\frac{2}{3}}}{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2} + 1}} = \frac{{12}}{{13}}\).

Ta có:

\(1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\);

\(1 - {\tan ^2}\alpha  = 1 - \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\cos }^2}\alpha  - {{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{\cos 2\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}\).

Vậy \(\frac{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }} = \frac{{\frac{{\cos 2\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}{{\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}} = \cos 2\alpha \), suy ra \(\cos 2\alpha  = \frac{{1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}}}{{1 + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}}} = \frac{{ - 5}}{{13}}\).

Ta có \(\sin \left( {2\alpha  + \frac{{7\pi }}{4}} \right) = \sin \left( {2\alpha  - \frac{\pi }{4} + 2\pi } \right) = \sin \left( {2\alpha  - \frac{\pi }{4}} \right)\)

\( = \sin \left( {2\alpha } \right)\cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right) - \cos \left( {2\alpha } \right)\sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{12}}{{13}}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \left( {\frac{{ - 5}}{{13}}} \right).\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{17\sqrt 2 }}{{26}}\)

Đáp án : A