Đề bài

Biết \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \) và \(\sin \left( {2\alpha } \right) = m\) với \( - 1 \le m < 0\) thì \(-\cos \left( {\alpha  + \frac{\pi }{2}} \right) + \cos \left( {\alpha  - \pi } \right)\) bằng:

• A. \(\sqrt {m - 1} \)
• B. \(\sqrt {m + 1} \)
• C. \(\sqrt {1 - m} \)
• D. \(\sqrt m \)

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức để biến đổi biểu thức:

\(\cos \left( {\alpha  + \frac{\pi }{2}} \right) =  - \sin \alpha \);

\(\cos \left( {\alpha  - \pi } \right) =  - \cos \alpha \);

\(\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha \).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

\(-\cos \left( {\alpha  + \frac{\pi }{2}} \right) + \cos \left( {\alpha  - \pi } \right) = \sin \left( \alpha  \right) - \cos \left( \alpha  \right)\).

Ta có \(\sin \left( {2\alpha } \right) = m \Leftrightarrow 2\sin \left( \alpha  \right)\cos \left( \alpha  \right) = m\).

Mà \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi\) suy ra \( \left\{ {_{\cos \left( \alpha  \right) < 0}^{\sin \left( \alpha  \right) > 0}} \right. \Rightarrow \sin \left( \alpha  \right) - \cos \left( \alpha  \right) > 0\).

Ta có: \( {\left[ {\sin \left( \alpha  \right) - \cos \left( \alpha  \right)} \right]^2}\)

\({\sin ^2}(\alpha ) - 2\sin (\alpha )\cos (\alpha ) + {\cos ^2}(\alpha )\)

\(= 1 - \sin \left( {2\alpha } \right) = 1 - m\).

Theo điều kiện đề bài: \(m < 0 \Leftrightarrow  - m > 0 \Rightarrow 1 - m > 0\).

Vậy \( \sin \left( \alpha  \right) - \cos \left( \alpha  \right) = \sqrt {1 - m}\).

Đáp án : C