Đề bài

Tính giá trị của biểu thức \(B = \frac{{2{{\cos }^2}\left( {\frac{\pi }{8}} \right) - 1}}{{1 + 8{{\sin }^2}\left( {\frac{\pi }{8}} \right){{\cos }^2}\left( {\frac{\pi }{8}} \right)}}\).

• A. \(\frac{{\sqrt 2 }}{4}\)
• B. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
• C. \(\frac{{\sqrt 2 }}{8}\)
• D. \(\sqrt 2 \)

Phương pháp giải

Sử dụng công thức nhân đôi \(\sin \left( {2x} \right) = 2\sin \left( x \right)\cos \left( x \right)\); \(\cos \left( {2x} \right) = 2{\cos ^2}\left( x \right) - 1\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Áp dụng công thức nhân đôi, ta có:

\(2{\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{8}} \right) - 1 = \cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\);

\(2\sin \left( {\frac{\pi }{8}} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{8}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\left[ {2\sin \left( {\frac{\pi }{8}} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{8}} \right)} \right]^2} = {\left[ {\sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right)} \right]^2}\)

\( \Leftrightarrow 4{\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{8}} \right){\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{8}} \right) = {\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 8{\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{8}} \right){\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{8}} \right) = 2{\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\).

Vậy \(B = \frac{{2{{\cos }^2}\left( {\frac{\pi }{8}} \right) - 1}}{{1 + 8{{\sin }^2}\left( {\frac{\pi }{8}} \right){{\cos }^2}\left( {\frac{\pi }{8}} \right)}} = \frac{{\cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right)}}{{1 + 2{{\sin }^2}\left( {\frac{\pi }{4}} \right)}} = \frac{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{1 + 2.\frac{1}{2}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\)

Đáp án : A