Đề bài

Biểu thức ${\sin ^2}\left( x \right) + {\sin ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right) + {\sin ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right)$ không phụ thuộc vào $x$ và kết quả rút gọn bằng:

• A. $\frac{2}{3}$
• B. $\frac{3}{2}$
• C. $0$
• D. $1$

Phương pháp giải

Sử dụng công thức hạ bậc $\frac{{1 - \cos \left( {2x} \right)}}{2} = {\sin ^2}\left( x \right)$

Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích

$\sin \left( \alpha  \right) + \sin \left( \beta  \right) = 2\sin \left( {\frac{{\alpha  + \beta }}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{\alpha  - \beta }}{2}} \right)$

Lời giải của GV Loigiaihay.com

$\begin{array}{l}{\sin ^2}\left( x \right) + {\sin ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right) + {\sin ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right)\\ = \frac{{1 - \cos \left( {2x} \right)}}{2} + \frac{{1 - \cos \left( {\frac{{4\pi }}{3} + 2x} \right)}}{2} + \frac{{1 - \cos \left( {\frac{{4\pi }}{3} - 2x} \right)}}{2}\\ = \frac{{3 - \cos \left( {2x} \right) - \left[ {\cos \left( {\frac{{4\pi }}{3} + 2x} \right) + \cos \left( {\frac{{4\pi }}{3} - 2x} \right)} \right]}}{2}\\ = \frac{{3 - \cos \left( {2x} \right) - 2\cos \left( {\frac{{4\pi }}{3}} \right)\cos \left( {2x} \right)}}{2}\\ = \frac{{3 - \cos \left( {2x} \right)\left[ {1 + 2\cos \left( {\frac{{4\pi }}{3}} \right)} \right]}}{2}\\ = \frac{{3 - \cos \left( {2x} \right)\left[ {1 + 2.\frac{{ - 1}}{2}} \right]}}{2} = \frac{3}{2}\end{array}$

Đáp án : B