Đề bài

Rút gọn biểu thức $A = {\cos ^2}\left( \alpha  \right) + {\cos ^2}\left( {\alpha  + \beta } \right) - 2\cos \left( \alpha  \right)\cos \left( \beta  \right)\cos \left( {\alpha  + \beta } \right)$ ta được kết quả

• A. ${\cos ^2}\left( \alpha  \right)$
• B. ${\cos ^2}\left( \beta  \right)$
• C. ${\sin ^2}\left( \alpha  \right)$
• D. ${\sin ^2}\left( \beta  \right)$

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức:

$\begin{array}{l}\cos \left( \alpha  \right) + \cos \left( \beta  \right) = 2\cos \left( {\frac{{\alpha  + \beta }}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{\alpha  - \beta }}{2}} \right)\\\sin \left( \alpha  \right)\cos \left( \beta  \right) = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\alpha  + \beta } \right) + \sin \left( {\alpha  - \beta } \right)} \right]\\\sin \left( {2\alpha } \right) = 2\sin \left( \alpha  \right)\cos \left( \beta  \right)\\\cos \left( {2\alpha } \right) = 2{\cos ^2}\left( \alpha  \right) - 1\end{array}$

Lời giải của GV Loigiaihay.com

$\begin{array}{l}A = {\cos ^2}\left( \alpha  \right) + {\cos ^2}\left( {\alpha  + \beta } \right) - 2\cos \left( \alpha  \right)\cos \left( \beta  \right)\cos \left( {\alpha  + \beta } \right)\\ = {\cos ^2}\left( \alpha  \right) + {\cos ^2}\left( {\alpha  + \beta } \right) - 2.\frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) + \cos \left( {\alpha  - \beta } \right)} \right]\cos \left( {\alpha  + \beta } \right)\\ = {\cos ^2}\left( \alpha  \right) + {\cos ^2}\left( {\alpha  + \beta } \right) - {\cos ^2}\left( {\alpha  + \beta } \right) - \cos \left( {\alpha  - \beta } \right)\cos \left( {\alpha  + \beta } \right)\\ = \frac{{1 + \cos \left( {2\alpha } \right)}}{2} - \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {2\alpha } \right) + \cos \left( {2\beta } \right)} \right]\\ = \frac{1}{2} - \frac{{\cos \left( {2\beta } \right)}}{2} = {\sin ^2}\left( \beta  \right)\end{array}$

Đáp án : D