Đề bài

Cho góc lượng giác $x$ thỏa mãn $\cos \left( x \right);\tan \left( x \right)$ cùng dấu. Tính giá trị của biểu thức $P = \frac{{5.\left| {\sin \left( {x + {3^{2021}}.\pi } \right)} \right|}}{{\sin \left( {x + {3^{2021}}.\pi } \right)}} - \frac{{\left| {\cos \left( {x - \frac{{5\pi }}{2}} \right)} \right|}}{{\cos \left( {x - \frac{{5\pi }}{2}} \right)}}$

• A. $1$
• B. $- 6$
• C. $\frac{3}{4}$
• D. $- 1$

Phương pháp giải

Sử dụng các tính chất sau và biến đổi biểu thức:

$\cos \left( x \right) = \cos \left( { - x} \right)$

$\sin \left( x \right) = \sin \left( {x + k2\pi } \right)$

$\sin \left( {x + \pi } \right) =  - \sin \left( x \right)$

$\cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \sin \left( x \right)$

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Vì ${3^{2021}}$ là một số lẻ  nên tồn tại một số nguyên k sao cho ${3^{2021}} = 2k + 1$

$\Rightarrow \sin \left( {x + {3^{2021}}.\pi } \right) = \sin \left( {x + \pi  + k2\pi } \right) = \sin \left( {x + \pi } \right) =  - \sin \left( x \right)$

Ta có $\cos \left( {x - \frac{{5\pi }}{2}} \right) = \cos \left( {\frac{{5\pi }}{2} - x} \right) = \cos \left( {2\pi  + \frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \sin \left( x \right)$

Do $\cos \left( x \right);\tan \left( x \right)$ cùng dấu nên $\cos \left( x \right).\tan \left( x \right) > 0 \Rightarrow \cos \left( x \right).\frac{{\sin \left( x \right)}}{{\cos \left( x \right)}} > 0 \Leftrightarrow \sin \left( x \right) > 0$

Do đó ta có

$\begin{array}{l}P = \frac{{5.\left| {\sin \left( {x + {3^{2021}}.\pi } \right)} \right|}}{{\sin \left( {x + {3^{2021}}.\pi } \right)}} - \frac{{\left| {\cos \left( {x - \frac{{5\pi }}{2}} \right)} \right|}}{{\cos \left( {x - \frac{{5\pi }}{2}} \right)}}\\P = \frac{{5.\left| { - \sin \left( x \right)} \right|}}{{ - \sin \left( x \right)}} - \frac{{\left| {\sin \left( x \right)} \right|}}{{\sin \left( x \right)}} = \frac{{5.\sin \left( x \right)}}{{ - \sin \left( x \right)}} - \frac{{\sin \left( x \right)}}{{\sin \left( x \right)}} =  - 6\end{array}$

Đáp án : B