Đề bài

Cho \(K = \frac{{1 + {{\tan }^3}x}}{{{{\left( {1 + \tan x} \right)}^3}}};(x \ne \frac{\pi }{4} + k\pi ,x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z})\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức K là:

  • A.
    \(1\)
  • B.
    \(0\)
  • C.
    2
  • D.
    \(\frac{1}{4}\)
Phương pháp giải

Rút gọn K và đổi biến để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

\(K = \frac{{1 + {{\tan }^3}x}}{{{{\left( {1 + \tan x} \right)}^3}}} = \frac{{\left( {1 + \tan x} \right)\left( {1 - \tan x + {{\tan }^2}x} \right)}}{{{{\left( {1 + \tan x} \right)}^3}}} = \frac{{1 - \tan x + {{\tan }^2}x}}{{1 + 2\tan x + {{\tan }^2}x}}\)

Đặt \(\tan x = t(t \ne  - 1)\)

\( \Rightarrow K = \frac{{1 - {\mathop{\rm t}\nolimits}  + {{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2}}}{{1 + 2{\mathop{\rm t}\nolimits}  + {{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2}}} \Rightarrow \left( {K - 1} \right){t^2} + \left( {2K + 1} \right)t + K - 1 = 0\)                   

Với \(K = 1\) thì phương trình có nghiệm \({\mathop{\rm t}\nolimits}  = 1\)

Với \(K \ne 1\) thì phương trình phải có nghiệm \({\mathop{\rm t}\nolimits}  \ne  - 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  \ge 0\\\left( {K - 1} \right){\left( { - 1} \right)^2} + \left( {2K + 1} \right)\left( { - 1} \right) + K - 1 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {2K + 1} \right)^2} - 4{\left( {K - 1} \right)^2} = 12K - 3 \ge 0\\K \ne  - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}K \ge \frac{1}{4}\\K \ne  - 4\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức K là \(\frac{1}{4}\)

Chọn đáp án D.

Đáp án : D

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Ở góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây:

Xem lời giải >>
Bài 2 :

Cho góc α thỏa mãn 900< α <1800. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Xem lời giải >>
Bài 3 :

Cho hai góc nhọn α và β phụ nhau. Hệ thức nào sau đây là sai?

Xem lời giải >>
Bài 4 :

Cho góc α thỏa mãn \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \). Xét các mệnh đề sau:

I. \(c{\rm{os(}}\frac{\pi }{2} - \alpha ){\rm{ > 0}}\)             II. \({\rm{sin(}}\frac{\pi }{2} - \alpha ){\rm{ > 0}}\)             III. \({\rm{tan(}}\frac{\pi }{2} - \alpha ){\rm{ > 0}}\)

Mệnh đề nào sai ?

Xem lời giải >>
Bài 5 :

Cho góc α thỏa mãn \(\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}\). Khẳng định nào sau đây đúng ?

Xem lời giải >>
Bài 6 :

Cho góc α thỏa mãn \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \). Xác định dấu của biểu thức

M = \(c{\rm{os(}} - \frac{\pi }{2} + \alpha ).\tan (\pi  - \alpha )\)?

Xem lời giải >>
Bài 7 :

Tính \(\sin \alpha \), biết \({\rm{cos}}\alpha  = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\) và \(\frac{{3\pi }}{2} < \alpha  < 2\pi \).

Xem lời giải >>
Bài 8 :

Cho \(\sin \alpha  = \frac{3}{5}\), biết \(0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}\). Tính \(\tan \alpha \)

Xem lời giải >>
Bài 9 :

Cho \(\tan \alpha  = \frac{3}{4}\), biết \( - \pi  < \alpha  <  - \frac{\pi }{2}\). Tính \(\sin \alpha \)

Xem lời giải >>
Bài 10 :

Cho \(\sin \alpha  = \frac{3}{5}\). Tính giá trị của biểu thức \(D = \sin \left( {\frac{{5\pi }}{2} - \alpha } \right) + \cos \left( {13\pi  + \alpha } \right) - 3\sin \left( {\alpha  - 5\pi } \right)\)

Xem lời giải >>
Bài 11 :

Cho góc α, giá trị của biểu thức dưới đây bằng:\(\cos \alpha  + \cos \left( {\alpha  + \frac{\pi }{5}} \right) + \cos \left( {\alpha  + \frac{{2\pi }}{5}} \right) + ... + \cos \left( {\alpha  + \frac{{9\pi }}{5}} \right)\)

Xem lời giải >>
Bài 12 :

Rút gọn biểu thức \(P = \frac{{\sin \left( { - {{234}^0}} \right) - \cos {{216}^0}}}{{\sin {{144}^0} - \cos {{126}^0}}}.\tan {36^0}\), ta được:

Xem lời giải >>
Bài 13 :

Rút gọn biểu thức \(A = {\cos ^2}x{\cot ^2}x + 3{\cos ^2}x - {\cot ^2}x + 2{\sin ^2}x\), ta được:

Xem lời giải >>
Bài 14 :

Rút gọn biểu thức \(B = \frac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}y}}{{{{\sin }^2}x{{\sin }^2}y}} - {\cot ^2}x{\cot ^2}y\), ta được:

Xem lời giải >>
Bài 15 :

Cho \(3{\sin ^4}x - {\cos ^4}x = \frac{1}{2}\). Giá trị \({\sin ^4}x + 3{\cos ^4}x\) bằng:

Xem lời giải >>
Bài 16 :

Rút gọn biểu thức A dưới đây\(A = \sin \left( {x + \frac{{85\pi }}{2}} \right) + \cos \left( {2023\pi  + x} \right) + {\sin ^2}\left( {x + 33\pi } \right) + {\sin ^2}\left( {x - \frac{{5\pi }}{2}} \right)\), ta được:

Xem lời giải >>
Bài 17 :

Rút gọn biểu thức \(M = 2{\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x + {{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right)^2} - \left( {{{\cos }^8}x + {{\sin }^8}x} \right)\), ta được:

Xem lời giải >>
Bài 18 :

Cho \(C = 6{\cos ^2}x + 5{\sin ^2}x\). Giá trị lớn nhất của biểu thức C là:

Xem lời giải >>
Bài 19 :

Cho \(F = {\cos ^2}x + 2\sin x + 2\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F là:

Xem lời giải >>