Đề bài

Cho nguyên hàm \(I = \int {\dfrac{{{e^{2x}}}}{{\left( {{e^x} + 1} \right)\sqrt {{e^x} + 1} }}} dx = a\left( {t + \dfrac{1}{t}} \right) + C\)  với \(t = \sqrt {{e^x} + 1} \) , giá trị $a$ bằng?

• A. $-2$
• B. $2$
• C. $-1$
• D. $1$

Phương pháp giải

- Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right) = \sqrt {{e^x} + 1} \)

- Bước 2: Tính vi phân \(dt = u'\left( x \right)dx\)

- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\)

- Bước 4: Tính nguyên hàm: \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {g\left( t \right)dt}  = G\left( t \right) + C = G\left( {u\left( x \right)} \right) + C\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

\(I = \int {\dfrac{{{e^{2x}}}}{{\left( {{e^x} + 1} \right)\sqrt {{e^x} + 1} }}} dx = a\left( {t + \dfrac{1}{t}} \right) + C\)

Đặt \(t = \sqrt {{e^x} + 1}  \Rightarrow {e^x} + 1 = {t^2}\) \( \Rightarrow {e^x} = {t^2} - 1 \Rightarrow {e^x}dx = 2tdt\)

\(I = \int {\dfrac{{{t^2} - 1}}{{{t^2}.t}}2tdt }= 2\int {\left( {1 - \dfrac{1}{{{t^2}}}} \right)dt}  \) \(= 2\left( {t + \dfrac{1}{t}} \right) + C  \Rightarrow a = 2\)

Đáp án : B

Chú ý

Một số em tính nhầm vi phân \({e^x}dx =  - 2tdt\) dẫn đến kết quả  \(I =  - 2\left( {t + \dfrac{1}{t}} \right) + C\) và chọn nhầm đáp án A là sai.