Cho \(A = \frac{{{x^4} - {x^3} - x + 1}}{{{x^4} + {x^3} + 3{x^2} + 2x + 2}}\). Kết luận nào sau đây đúng?
-
A.
\(A\) luôn nhận giá trị không âm với mọi \(x\)
-
B.
\(A\) luôn nhận giá trị dương với mọi \(x\)
-
C.
Giá trị của \(A\) không phụ thuộc vào \(x\)
-
D.
\(A\) luôn nhận giá trị âm với mọi \(x\)
Đáp án : A
Rút gọn phân thức \(A\):
- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung;
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.
Đánh giá dấu của phân thức \(A\).
\(\begin{array}{l}A = \frac{{{x^4} - {x^3} - x + 1}}{{{x^4} + {x^3} + 3{x^2} + 2x + 2}} = \frac{{{x^3}\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right)}}{{{x^4} + {x^3} + {x^2} + 2{x^2} + 2x + 2}} = \frac{{\left( {{x^3} - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{{x^2}\left( {{x^2} + x + 1} \right) + 2\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 2}}\end{array}\)Ta có: \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\forall x\) và \({x^2} + 2 > 0\forall x\) nên \(A = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 2}} \ge 0\forall x\)
Vậy \(A\) luôn nhận giá trị không âm với mọi \(x\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Chọn câu sai. Với đa thức\(B \ne 0\) ta có:
Phân thức \(\frac{{{x^2} - 7x + 12}}{{{x^2} - 6x + 9}}\) (với \(x \ne 3\)) bằng với phân thức nào sau đây?
Mẫu thức chung của các phân thức \(\frac{5}{{2\left( {x - 3} \right)}},\,\frac{7}{{{{\left( {x - 3} \right)}^3}}}\)là?
Quy đồng mẫu thức các phân thức \(\frac{1}{x},\,\frac{2}{y},\,\frac{3}{z}\) ta được:
Cho \(A = \frac{{{x^2} + x - 6}}{{2{x^2} + 6x}}\). Khi đó:
Đa thức nào sau đây là mẫu thức chung của các phân thức \(\frac{1}{{2 - x}},\,\frac{{2x + 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}},\,\frac{{3{x^2} - 1}}{{{x^2} + 4x + 4}}\)
Quy đồng mẫu thức các phân thức \(\frac{1}{{{x^3} + 1}},\,\frac{2}{{3x + 3}},\,\frac{x}{{2{x^2} - 2x + 2}}\) ta được các phân thức lần lượt là:
Tìm \(x\) biết \({a^2}x + 2ax + 4 = {a^2}\) với \(a \ne 0;\,a \ne - 2\).
Tính giá trị phân thức \(A = \frac{{{x^2} + x - 6}}{{2{x^2} + 6x}}\) tại \(x = 1\).
Cho \(A = \frac{{2{a^2} + 8ab + 8{b^2}}}{{a + 2b}}\) và \(a + 2b = 5\). Khi đó:
