Đề bài

Cho nguyên hàm \(I = \int {\dfrac{{6{\mathop{\rm tanx}\nolimits} }}{{{{\cos }^2}x\sqrt {3\tan x + 1} }}dx} \) . Giả sử đặt \(u = \sqrt {3\tan x + 1} \) thì ta được:

• A. \(I = \dfrac{4}{3}\int {\left( {2{u^2} + 1} \right)du} \)          
• B. \(I = \dfrac{4}{3}\int {\left( { - {u^2} + 1} \right)du} \)        
• C. \(I = \dfrac{4}{3}\int {\left( {{u^2} - 1} \right)du} \)
• D. \(I = \dfrac{4}{3}\int {\left( {2{u^2} - 1} \right)du} \)

Phương pháp giải

- Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right) = \sqrt {3\tan x + 1} \).

- Bước 2: Tính vi phân \(dt = u'\left( x \right)dx\).

- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\).

- Bước 4: Tính nguyên hàm: \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {g\left( t \right)dt}  = G\left( t \right) + C = G\left( {u\left( x \right)} \right) + C\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

\(I = \int {\dfrac{{6{\mathop{\rm tanx}\nolimits} }}{{{{\cos }^2}x\sqrt {3\tan x + 1} }}dx} \)

Đặt \(u = \sqrt {3\tan x + 1}  \Rightarrow {u^2} = 3\tan x + 1 \Rightarrow \dfrac{3}{{{{\cos }^2}x}}dx = 2udu \Rightarrow \dfrac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}} = \dfrac{{2udu}}{3}\)\(I = \int {\dfrac{{2\left( {{u^2} - 1} \right)}}{{3u}}2udu = \dfrac{4}{3}\int {\left( {{u^2} - 1} \right)} } du\)

Đáp án : C

Chú ý

Một số em khi tính vi phân \(dt\) sẽ tính nhầm \(\dfrac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}} =  - \dfrac{{2udu}}{3}\) dẫn đến chọn nhầm đáp án B là sai.