Đề bài

Cho tứ giác ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Khẳng định nào sau đây là đúng:

• A.
  \(OA + OB + OC + O{{D}} < AB + BC + C{{D}} + DA\)
• B.
  \(OA + OB + OC + O{{D}} > AB + BC + C{{D}} + DA\)
• C.
  \(OA + OB + OC + O{{D}} < \frac{1}{2}\left( {AB + BC + C{{D}} + DA} \right)\)
• D.
  \(OA - OB + OC - O{{D}} > AB + BC + C{{D}} + DA\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng bất đẳng thức tam giác

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác ABC:

\(AB + BC > AC\) (bất đẳng thức tam giác)

Tương tự, lần lượt các tam giác BCD, CDA, DAB ta có:

\(\begin{array}{l}BC + C{{D}} > B{{D}}\\C{{D}} + DA > CA\\DA + AB > DB\end{array}\)

Cộng vế với vế ta được các bất đẳng thức trên ta được:

\(\begin{array}{l}AB + BC + C{{D}} + C{{D}} + DA + DA + AB > AC + B{{D}} + CA + DB\\ \Leftrightarrow 2\left( {AB + BC + C{{D}} + DA} \right) > 2\left( {AC + B{{D}}} \right)\\ \Leftrightarrow AB + BC + C{{D}} + DA > AC + B{{D}}\end{array}\)

Mà: \(AC + B{{D}} = OA + OC + OB + O{{D}}\) (hệ thức cộng đoạn thẳng)

\( \Leftrightarrow OA + OB + OC + O{{D}} < AB + BC + C{{D}} + DA\)

Vậy ta có: \(OA + OB + OC + O{{D}} < AB + BC + C{{D}} + DA\)