Đề bài

Cho \(M = \frac{{{{\left( {x + 5} \right)}^2} + {{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{{x^2} + 25}}; N = \frac{{{{\left( {2x + 5} \right)}^2} + {{\left( {5x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}}\) . Tìm mối quan hệ giữa \(M, N\) ?

• A.
  \(N = 14M - 1\) .
• B.
  \(N = 14M\) .
• C.
  \(N = 14M + 1\) .
• D.
  \(N = 14M - 2\) .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng hai hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) và \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) để rút gọn biểu thức \(M,N\) .

Lời giải chi tiết :

Ta có \(M = \frac{{{{\left( {x + 5} \right)}^2} + {{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{{x^2} + 25}} = \frac{{{x^2} + 10x + 25 + {x^2} - 10x + 25}}{{{x^2} + 25}} = \frac{{2{x^2} + 50}}{{{x^2} + 25}} = \frac{{2\left( {{x^2} + 25} \right)}}{{{x^2} + 25}} = 2\)

\(N = \frac{{{{\left( {2x + 5} \right)}^2} + {{\left( {5x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{4{x^2} + 20x + 25 + 25{x^2} - 20x + 4}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{29{x^2} + 29}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{29\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}} = 29\)

Ta thấy: \(29 = 14.2 + 1 \Rightarrow N = 14M + 1\)