Đề bài

Cho \(F\left( x \right) = \int {\dfrac{{\ln x}}{{x\sqrt {1 - \ln x} }}dx} \) , biết\(F\left( e \right) = 3\) , tìm \(F\left( x \right) = ?\)

• A. \(F\left( x \right) =  - 2\sqrt {1 - \ln x}  + \dfrac{2}{3}\left( {1 - \ln x} \right)\sqrt {1 - \ln x}  + 3\)
• B. \(F\left( x \right) =  - \sqrt {1 - \ln x}  + \dfrac{1}{3}\left( {1 - \ln x} \right)\sqrt {1 - \ln x}  + 3\)
• C. \(F\left( x \right) =  - 2\sqrt {1 - \ln x}  - \dfrac{2}{3}\left( {1 - \ln x} \right)\sqrt {1 - \ln x}  + 3\)
• D. \(F\left( x \right) = 2\sqrt {1 - \ln x}  - \dfrac{2}{3}\left( {1 - \ln x} \right)\sqrt {1 - \ln x}  + 3\)

Phương pháp giải

- Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right) = \sqrt {1 - \ln x} \)

- Bước 2: Tính vi phân \(dt = u'\left( x \right)dx\)

- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\)

- Bước 4: Tính nguyên hàm: \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {g\left( t \right)dt}  = G\left( t \right) + C = G\left( {u\left( x \right)} \right) + C\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

\(F\left( x \right) = \int {\dfrac{{\ln x}}{{x\sqrt {1 - \ln x} }}dx} \)

Đặt \(\sqrt {1 - \ln x}  = t \Rightarrow 1 - \ln x = {t^2} \Rightarrow \ln x = 1 - {t^2} \Rightarrow \dfrac{1}{x}dx =  - 2tdt\)

\( \Rightarrow F\left( x \right) = \int {\dfrac{{1 - {t^2}}}{t}\left( { - 2tdt} \right) =  - 2\int {\left( {1 - {t^2}} \right)} } dt \)

$=  - 2t + \dfrac{2}{3}{t^3} + C =  - 2\sqrt {1 - \ln x}  + \dfrac{2}{3}\left( {1 - \ln x} \right)\sqrt {1 - \ln x}  + C$

\(\begin{array}{l}F\left( e \right) =  - 2\sqrt {1 - 1}  +\dfrac{2}{3}\left( {1 - 1} \right)\sqrt {1 - 1}  + C = 3 \Rightarrow C = 3\\ \Rightarrow F\left( x \right) =  - 2\sqrt {1 - \ln x}  + \dfrac{2}{3}\left( {1 - \ln x} \right)\sqrt {1 - \ln x}  + 3\end{array}\)

Đáp án : A

Chú ý

Một số HS sẽ thay nhầm \(\dfrac{1}{x}dx =  - tdt\) dẫn đến \(F\left( x \right) =  - \sqrt {1 - \ln x}  + \dfrac{1}{3}\left( {1 - \ln x} \right)\sqrt {1 - \ln x}  + C\) và chọn nhầm đáp án B là sai.