Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\). Một đường thẳng \(d\) bất kì luôn đi qua \(A\). Kẻ \(BH\) và \(CK\) vuông góc với đường thẳng \(d.\) Khi đó tổng \(B{H^2} + C{K^2}\) bằng

• A. \(A{C^2} + B{C^2}\)
• B. \(A{H^2}\)     
• C. \(A{C^2}\)     
• D. \(B{C^2}\)

Phương pháp giải

+ Chứng minh hai tam giác bằng nhau \(\Delta ABH = \Delta CAK\) suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau

+ Sử dụng định lý Py-ta-go

Lời giải của GV Loigiaihay.com

 

Vì \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(AB = AC\)  (tính chất)

Lại có \(\widehat {ABH} + \widehat {BAH} = 90^\circ \) (vì \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) ) và \(\widehat {CAH} + \widehat {BAH} = 90^\circ \)

Nên \(\widehat {ABH} = \widehat {CAK}\)  (cùng phụ với \(\widehat {BAH}\) )

\( \Rightarrow \Delta ABH = \Delta CAK\) (cạnh huyền-góc nhọn) suy ra \(BH = AK.\)

Do đó \(B{H^2} + C{K^2} = A{K^2} + C{K^2}\,\,\left( 1 \right)\)

Xét tam giác \(ACK\), theo định lý Pytago: \(A{K^2} + C{K^2} = A{C^2}\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(B{H^2} + C{K^2} = A{C^2}.\)

Đáp án : C