Đề bài

Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số$f(x) = \dfrac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$?

• A. $\dfrac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 1}}$     
• B. $\dfrac{{{x^2} - x - 1}}{{x + 1}}$             
• C. $\dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}$   
• D. $\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}}$

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất: Các nguyên hàm của cùng một hàm số thì hơn kém nhau một số đơn vị nên ta chỉ cần kiểm tra các đáp án.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Dễ thấy các hàm số ở ý B, C, D hơn kém nhau một số đơn vị do nên chúng là nguyên hàm của cùng một hàm số.

Đáp án : A

Chú ý

Cách giải tự luận:

$f(x) = \dfrac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{{x^2} + 2x + 1 - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 1 - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$

Do đó \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {1 - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right)dx}  = x + \dfrac{1}{{x + 1}} + C\)

Ta có: $\dfrac{{{x^2} - x - 1}}{{x + 1}} = x + \dfrac{1}{{x + 1}} - 2$ nên B đúng.

$\dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = x + \dfrac{1}{{x + 1}}$ nên C đúng.

$\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}} = x + \dfrac{1}{{x + 1}} - 1$ nên D đúng.

$\dfrac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 1}} = x - \dfrac{1}{{x + 1}}$ nên A sai.