(ASM 2011 – 2012)
Tìm x sao cho:
$\left( {x + \frac{1}{{1 \times 3}}} \right) + \left( {x + \frac{1}{{3 \times 5}}} \right) + \left( {x + \frac{1}{{5 \times 7}}} \right) + .... + \left( {x + \frac{1}{{23 \times 25}}} \right) = 11 \times x + \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \frac{1}{{243}}} \right)$
Áp dụng phương pháp giải bài toán dãy phân số có quy luật.
$\left( {x + \frac{1}{{1 \times 3}}} \right) + \left( {x + \frac{1}{{3 \times 5}}} \right) + \left( {x + \frac{1}{{5 \times 7}}} \right) + .... + \left( {x + \frac{1}{{23 \times 25}}} \right) = 11 \times x + \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \frac{1}{{243}}} \right)$
$12 \times x + (\frac{1}{{1 \times 3}} + \frac{1}{{3 \times 5}} + \frac{1}{{5 \times 7}} + .... + \frac{1}{{23 \times 25}}) = 11 \times x + (\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \frac{1}{{243}})$
$x + \left( {\frac{1}{{1 \times 3}} + \frac{1}{{3 \times 5}} + \frac{1}{{5 \times 7}} + ... + \frac{1}{{23 \times 25}}} \right) = \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \frac{1}{{243}}} \right)$ (1)
Ta có $A = \frac{1}{{1 \times 3}} + \frac{1}{{3 \times 5}} + \frac{1}{{5 \times 7}} + ... + \frac{1}{{23 \times 25}}$
$ = \frac{1}{2} \times \left( {\frac{2}{{1 \times 3}} + \frac{2}{{3 \times 5}} + \frac{2}{{5 \times 7}} + ... + \frac{2}{{23 \times 25}}} \right)$
$ = \frac{1}{2} \times \left( {1 - \frac{1}{{25}}} \right)$
$ = \frac{1}{2} \times \frac{{24}}{{25}} = \frac{{12}}{{25}}$
Đặt$B = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \frac{1}{{243}}$
$3 \times B - B = (1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}}) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \frac{1}{{243}}){\text{ }}$
$2 \times B = 1 - \frac{1}{{243}} = \frac{{242}}{{243}}$
$B = \frac{{242}}{{243}}:2 = \frac{{121}}{{243}}$
Thay giá trị của A và B vào (1) ta được:
$x + \frac{{12}}{{25}} = \frac{{121}}{{243}}$
$x = \frac{{109}}{{6075}}$
Các bài tập cùng chuyên đề
Hãy chứng tỏ rằng các phân số sau bằng nhau:
a) $\frac{{123}}{{127}} = \frac{{123123}}{{127127}}$
b) $\frac{{13}}{{15}} = \frac{{1313}}{{1515}} = \frac{{131313}}{{151515}}$
Tính nhanh:
a) $\frac{{2006 \times 2005 - 1}}{{2004 \times 2006 + 2005}}$
b) $\frac{{1999 \times 2001 - 1}}{{1998 + 1999 \times 2000}} \times \frac{7}{5}$
c) $\frac{{1313}}{{2121}} \times \frac{{165165}}{{143143}} \times \frac{{424242}}{{151515}}$
d) $\frac{{1995 \times 1993 - 18}}{{1975 + 1993 \times 1994}}$
Tính nhanh:
a) $\frac{{6 \times 7 \times 8 \times 9 \times 10 \times 11}}{{22 \times 20 \times 18 \times 16 \times 14 \times 12}}$
b) $\left( {1 - \frac{1}{2}} \right) \times \left( {1 - \frac{1}{3}} \right) \times \left( {1 - \frac{1}{4}} \right) \times \left( {1 - \frac{1}{5}} \right) \times \left( {1 - \frac{1}{6}} \right)$
Tính:
a) A = $\frac{1}{{20}} + \frac{1}{{30}} + \frac{1}{{42}} + \frac{1}{{56}} + \frac{1}{{72}} + \frac{1}{{90}}$
b) B = $\frac{3}{{1 \times 3}} + \frac{3}{{3 \times 5}} + \frac{3}{{5 \times 7}} + ..... + \frac{3}{{99 \times 101}}$
Tính M = $1\frac{3}{{34}} \times 10\frac{1}{{12}} \times \frac{8}{9} \times 2\frac{1}{8} \times \frac{3}{{13}} \times \frac{{26}}{{37}} \times 1\frac{9}{{11}} \times \frac{3}{4}$
(Cầu Giấy 2013 – 2014)
Tính $A = \left( {\frac{3}{{10}} + \frac{4}{5} \times \frac{1}{2}} \right):\left( {2\frac{8}{9} - 1\frac{1}{3}} \right) + 2013$
(LTV 2014 – 2015)
Tính giá trị của biểu thức $A = 17 \times \left( {\frac{{1313}}{{5151}} + \frac{{1111}}{{3434}}} \right):\frac{{177}}{{12}}$
(NTT 2019 – 2020)
Một đội tự nguyện trường Nguyễn Tất thành đi trồng cây ở tỉnh Hà Giang trong 3 ngày. Ngày 1, đội trồng $\frac{1}{3}$ số cây. Ngày 2, đội trồng $\frac{6}{{11}}$ số cây còn lại. Ngày 3, trồng ít hơn ngày 2 là 30 cây. Tính số cây mà mỗi đội đã trồng được.
(Cầu Giấy 2019 – 2020)
Cho một số bóng xanh và vàng. Số bóng vàng bằng $\frac{1}{3}$ bóng xanh. Nếu thêm 6 bóng vàng thì bóng vàng bằng $\frac{5}{9}$ bóng xanh. Tính số bóng xanh.
(ASM 2019 – 2020)
Cho phân số $\frac{{14}}{{17}}$. Hỏi cùng thêm vào cả tử số và mẫu số bao nhiêu đơn vị để được phân số mới có giá trị bằng $\frac{6}{7}$.
Cửa hàng có một số hộp sữa đã bán hết trong 4 ngày. Ngày đầu bán $\frac{1}{3}$ số hộp sữa. Ngày thứ hai bán $\frac{1}{3}$ số hộp sữa còn lại. Ngày thứ ba bán $\frac{1}{3}$ số hộp sữa còn lại sau 2 ngày. Ngày thứ tư bán 16 hộp thì hết. Hỏi cả 4 ngày cửa hàng bán hết bao nhiêu hộp sữa?
Cho phân số $\frac{{54}}{{63}}$. Hãy tìm số tự nhiên a sao cho khi bớt a ở tử số và thêm a vào mẫu số ta được phân số mới, rút gọn phân số mới ta được phân số $\frac{4}{5}$.
Cho phân số $\frac{{234}}{{369}}$. Hỏi cùng phải bớt ở tử số và mẫu số bao nhiêu đơn vị để được phân số mới và rút gọn phân số mới đó ta được phân số $\frac{5}{8}$.
Cho phân số $\frac{a}{b}$. Rút gọn phân số $\frac{a}{b}$ ta được phân số $\frac{5}{7}$. Nếu thêm 71 vào tử số và giữ nguyên mẫu số, ta được phân số $\frac{{18}}{{11}}$. Tìm phân số $\frac{a}{b}$.
Cho phân số $\frac{a}{b}$. Rút gọn phân số $\frac{a}{b}$ ta được phân số $\frac{5}{7}$. Nếu thêm 71 vào tử số và giữ nguyên mẫu số, ta được phân số $\frac{{18}}{{11}}$. Tìm phân số $\frac{a}{b}$.
Cho phân số $\frac{{12}}{{21}}$. Hỏi phải cùng thêm vào tử số và mẫu số của phân số này bao nhiêu đơn vị để được phân số bằng $\frac{8}{{11}}$.
Một người bán hàng vải, lần thứ nhất bán $\frac{1}{2}$ tấm vải, lần thứ hai bán $\frac{1}{3}$ tấm vải đó thì tấm vải chỉ còn lại 7 m. Hỏi tấm vải đó dài bao nhiêu mét?
Một thửa ruộng năm nay thu hoạch nhiều hơn năm ngoái 30 tạ. Biết $\frac{1}{7}$ số thu hoạch năm ngoái thì bằng $\frac{1}{{12}}$ số thu hoạch năm nay. Hỏi năm nay thu hoạch ở thửa ruộng đó được bao nhiêu tạ?
Một người bán trứng bán lần thứ nhất $\frac{1}{5}$ số trứng, lần thứ hai bán $\frac{3}{8}$ số trứng thì còn lại 17 quả. Hỏi người đó đem bán bao nhiêu quả trứng và mỗi lần bán bao nhiêu quả?
Hai chị em được 110 000 đồng tiền mừng tuổi. Nếu chị cho em 2000 đồng thì số tiền của chị bằng $\frac{5}{6}$ số tiền của em. Hỏi mỗi người được bao nhiêu tiền mừng tuổi.
