Đề bài

Cho đoạn thẳng \(AB,O\) là trung điểm của \(AB.\) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ \(AB\) vẽ các tia \(Ax;By\) vuông góc với \(AB.\) Gọi \(C\) là một điểm thuộc tia \(Ax.\) Đường vuông góc với \(OC\) tại ${\rm{O}}$ cắt tia \(By\) ở \(D.\) Khi đó

• A. \(BD = CD + AC\) 
• B. \(AC = DC + BD\)   
• C. \(CD = AC - BD\) 
• D. \(CD = AC + BD\)

Phương pháp giải

+ Kéo dài \(OC\) cắt \(BD\) tại \(K.\)

 + Chứng minh \(AC = BK\) dựa vào hai tam giác bằng nhau \(AOC\) và \(BOK.\)

+ Chứng minh  hai tam giác bằng nhau \(COD\) và \(KOD\) từ đó suy mối quan hệ giữa các đoạn thẳng.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Kéo dài \(OC\) cắt \(BD\) tại \(K.\) Khi đó \(OD \bot OC \Rightarrow OD \bot CK \Rightarrow \widehat {COD} = \widehat {KOD} = 90^\circ \)  ; \(AB \bot DK \Rightarrow \widehat {OBD} = \widehat {OBK} = 90^\circ .\)

Xét tam giác \(AOC\) và tam giác \(BOK\) có

+ \(\widehat {OAC} = \widehat {OBK} = 90^\circ \)

+ \(OA = OB\,\) (\(O\) là trung điểm của \(AB\))

+ \(\widehat {AOC} = \widehat {BOK}\) (hai góc đối đỉnh)

Suy ra \(\Delta AOC = \Delta BOK\left( {g - c - g} \right)\) \( \Rightarrow OC = OK\) (hai cạnh tương ứng); \(AC = BK\) (hai cạnh tương ứng)

Xét tam giác \(DOC\) và tam giác \(DOK\) có

+ \(OC = OK\) (cmt)

+ \(\widehat {DOC} = \widehat {DOK} = 90^\circ \)

+ Cạnh \(OD\) chung,

Suy ra \(\Delta DOC = \Delta DOK\left( {g - c - g} \right)\) \( \Rightarrow CD = DK\) (hai cạnh tương ứng)

Ta có $DK = DB + BK$ mà \(AC = BK\)(cmt) và \(CD = DK\) (cmt) nên \(CD = AC + BD.\)

Đáp án : D