Đề bài

Cho tam giác $ABC$  có $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC.$ Trên tia đối của tia $MC$  lấy $D$  sao cho $MD = MC$ . Trên tia đối của tia $NB$ lấy điểm $E$ sao cho $NE = NB.$

(I) \(\Delta AMD = \Delta BMC\)

(II) \(\Delta ANE = \Delta CNB\)

(III) $A,D,E$ thẳng hàng

(IV)  $A$ là trung điểm của đoạn thẳng $DE$

Số khẳng định đúng trong các khẳng định trên là

• A. \(0\)    
• B. \(2\)    
• C. $4$     
• D.  \(3\)

Phương pháp giải

(I), (II) Dựa vào trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác để chứng minh các tam giác bằng nhau

(III)  Để chứng minh ba điểm $A,D,E$ thẳng hàng ta chứng minh $A$  có hai đường thẳng $AD,AE$ cùng song song với $BC.$

(IV)  Để chứng minh $A$  là trung điểm của $DE$  ta chứng minh $AD$ và $AE$ cùng bằng $BC$ do đó chúng bằng nhau.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

(I) Xét \(\Delta AMD\) và \(\Delta BMC\) có: $DM = MC\left( {gt} \right);$ \(\widehat {BMC} = \widehat {AMD}\) (hai góc đối đỉnh); $AM = BM\left( {gt} \right),$ nên \(\Delta AMD = \Delta BMC\)(c.g.c).

(II) Xét \(\Delta ANE\) và \(\Delta CNB\) có: $AN = NC\left( {gt} \right);$ \(\widehat {ANE} = \widehat {CNB}\)(hai góc đối đỉnh), $NB = NE\left( {gt} \right),$ do đó

\(\Delta CNB = \Delta ANE\)(c.g.c).

(III) Do \(\Delta AMD = \Delta BMC\) nên \(\widehat D = \widehat {{C_1}}\)(hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $AD//BC.$

Do  \(\Delta CNB = \Delta ANE\)nên \(\widehat E = \widehat {{B_1}}\)(hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $AE//BC.$

Như vậy qua $A$  có hai đường thẳng $AD,AE$ cùng song song với $BC.$  

Do đó $D,A,E$ thẳng hàng. (1)

(IV) Ta có: $AD = BC$ (do \(\Delta AMD = \Delta BMC\)); $AE = BC$ (do \(\Delta CNB = \Delta ANE\)) nên $AD = AE\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra $A$  là trung điểm của $DE.$

Vậy cả (I); (II); (III); (IV) đều đúng.

Đáp án : C