Đề bài

Tìm số tự nhiên $x$ để \(D = \dfrac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 2}}\) có giá trị là một số nguyên.

• A. \(x = 4\)         
• B. \(x = 16\)      
• C. \(x = 9\)
• D. \(x = 10\)

Phương pháp giải :

- Đầu tiên ta tách biểu thức đã cho về dạng một số nguyên cộng với một phân thức có tử là một số nguyên.

- Để $D $ là một số nguyên thì phân thức được tách phải là số nguyên hay tử phải chia hết cho mẫu, hay mẫu là ước của tử.

- Từ đó tìm ra $x$.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(D = \dfrac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 2}} \) \(= \dfrac{{\sqrt x  + 2 - 5}}{{\sqrt x  + 2}} \) \(= 1 - \dfrac{5}{{\sqrt x  + 2}}\)

Để \(D \in Z\) thì \(\left( {\sqrt x  + 2} \right)\) phải thuộc $Z$ và là ước của $5.$

Vì \(\left( {\sqrt x  + 2} \right) > 0\) nên chỉ có hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(\sqrt x  + 2 = 1 \Leftrightarrow \sqrt x  =  - 1\) (vô lý)

Trường hợp 2: \(\sqrt x  + 2 = 5 \Leftrightarrow \sqrt x  = 3 \Leftrightarrow x = 9\)(thỏa mãn).

Vậy để \(D \in Z\) thì $x = 9$ (khi đó $D = 0$).

Đáp án : C