Đề bài

Cho $4$ số khác $0$ là \({a_1},{a_2},{a_3},{a_4}\)  thoả mãn \({a_2}^2 = {a_1}.{a_3},{a_3}^2 = {a_2}.{a_4}.\) Chọn câu đúng.

• A. \(\dfrac{{a_1^3 + a_2^3 + a_3^3}}{{a_2^3 + a_3^3 + a_4^3}} = \dfrac{{{a_1}}}{{{a_4}}}\)     
• B. \(\dfrac{{a_1^3 + a_2^3 + a_3^3}}{{a_2^3 + a_3^3 + a_4^3}} = \dfrac{{{a_4}}}{{{a_1}}}\)
• C. \(\dfrac{{a_1^3 + a_2^3 + a_3^3}}{{a_2^3 + a_3^3 + a_4^3}} = \dfrac{{{a_2}}}{{{a_4}}}\)
• D. \(\dfrac{{a_1^3 + a_2^3 + a_3^3}}{{a_2^3 + a_3^3 + a_4^3}} = \dfrac{{{a_3}}}{{{a_4}}}\)

Phương pháp giải

Từ bài ra lập tỉ lệ thức sau đó áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau .

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có \({a_2}^2 = {a_1}.{a_3} \Rightarrow \dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \dfrac{{{a_2}}}{{{a_3}}},\)\({a_3}^2 = {a_2}.{a_4} \Rightarrow \dfrac{{{a_2}}}{{{a_3}}} = \dfrac{{{a_3}}}{{{a_4}}}\)

Nên \(\dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \dfrac{{{a_2}}}{{{a_3}}} = \dfrac{{{a_3}}}{{{a_4}}}\) , từ đó \(\dfrac{{a_1^3}}{{a_2^3}} = \dfrac{{a_2^3}}{{a_3^3}} = \dfrac{{a_3^3}}{{a_4^3}}\)

Mà \(\dfrac{{a_1^3}}{{a_2^3}} = \dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}}.\dfrac{{{a_2}}}{{{a_3}}}.\dfrac{{{a_3}}}{{{a_4}}} = \dfrac{{{a_1}}}{{{a_4}}}\)  nên \(\dfrac{{a_1^3}}{{a_2^3}} = \dfrac{{a_2^3}}{{a_3^3}} = \dfrac{{a_3^3}}{{a_4^3}} = \dfrac{{{a_1}}}{{{a_4}}}\,\left( 1 \right)\)

Lại có, áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau thì \(\dfrac{{a_1^3}}{{a_2^3}} = \dfrac{{a_2^3}}{{a_3^3}} = \dfrac{{a_3^3}}{{a_4^3}} = \dfrac{{a_1^3 + a_2^3 + a_3^3}}{{a_2^3 + a_3^3 + a_4^3}}\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{{a_1^3 + a_2^3 + a_3^3}}{{a_2^3 + a_3^3 + a_4^3}} = \dfrac{{{a_1}}}{{{a_4}}}.\)

Đáp án : A