Đề bài

Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 g hương liệu, 9 lít nước và 210 g đường để pha chế nước cam và nước táo.

- Để pha chế 1 lít nước cam cần 30 g đường, 1 lít nước và 1 g hương liệu;

- Để pha chế 1 lít nước táo cần 10 g đường, 1 lít nước và 4 g hương liệu.

Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để đạt được số điểm thưởng cao nhất?

• A. 5 lít nước cam và 4 lít nước táo.
• B. 6 lít nước cam và 5 lít nước táo.
• C. 4 lít nước cam và 5 lít nước táo.
• D. 4 lít nước cam và 6 lít nước táo.

Phương pháp giải

Ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải bài toán.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Giả sử \(x,y\) lần lượt là số lít nước cam và số lít nước táo mà mỗi đội cần pha chế.

Suy ra \(30x + 10y\) là số gam đường cần dùng;

\(x + y\) là số lít nước cần dùng;

\(x + 4y\) là số gam hương liệu cần dùng.

Theo giả thiết ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\30x + 10y \le 210\\x + y \le 9\\x + 4y \le 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\3x + y \le 21\\x + y \le 9\\x + 4y \le 24\end{array} \right.\) \(\left( * \right)\)

Số điểm thưởng nhận được sẽ là \(P = 60x + 80y\).

Ta đi tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P\) với \(x,y\) thỏa mãn \(\left( * \right)\).

 

Ta có: 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{60.0 + 80.0 = 0}\\
{60.0 + 80.6 = 480}\\
{60.4 + 80.5 = 640}\\
{60.6 + 80.3 = 600}\\
{60.7 + 80.0 = 420}
\end{array}} \right.\)

Vậy GTLN là 640 tại \(x=4; y= 5\).

Đáp án : C

Mở rộng

Quy hoạch tuyến tính

Đây là một phương pháp toán học được sử dụng để tìm giá trị tối ưu (lớn nhất hoặc nhỏ nhất) của một hàm mục tiêu tuyến tính, chịu sự ràng buộc bởi một hệ bất phương trình hoặc phương trình tuyến tính.

Phương pháp giải:

– Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm).

– Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

– Lập bất phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng, biểu thị điều kiện đề bài đưa ra trong một tình huống nào đó… Giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của biểu thức P(x;y) = ax + by (b ≠ 0) trên miền đa giác lồi (kể cả biên) đạt được tại một đỉnh nào đó của đa giác”.