Đề bài

Cho \(x,y\) thoả mãn hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 100 \le 0\\2x\,\, + \,y - 80\,\, \le 0\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right..\) Tìm giá trị lớn nhất \({P_{\max }}\) của biểu thức \(P = \left( {x;y} \right) = 40000x + 30000y.\)

• A. \({P_{\max }} = 2000000.\)
• B. \({P_{\max }} = 2400000.\)
• C. \({P_{\max }} = 1800000.\)
• D. \({P_{\max }} = 1600000.\)

Phương pháp giải

Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Kết quả thường được miền nghiệm \(S\) là đa giác.

Bước 2: Tính giá trị của \(F\) tương ứng với \(\left( {x;y} \right)\) là tọa độ của các đỉnh của đa giác.

Bước 3: Kết luận:

\( \bullet \) Giá trị lớn nhất của \(F\) là số lớn nhất trong các giá trị tìm được.

\( \bullet \) Giá trị nhỏ nhất của \(F\) là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\)vẽ các đường thẳng

        \({d_1}:x + 2y - 100 = 0,\,\,{\rm{   }}{d_2}:2x + y - 80 = 0.\)

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần mặt phẳng (tứ giác \(OABC\) kể cả biên) tô màu như hình vẽ.

Xét các đỉnh của miền khép kín tạo bởi hệ là

      \(\begin{array}{l}O\left( {0;0} \right),\,\,A\,\left( {0;50} \right),\,\,B\left( {20;40} \right),C\left( {40;0} \right).\end{array}\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}P\left( {0;0} \right) = 0\\P\left( {0;50} \right) = 1500000\\P\left( {20;40} \right) = 2000000\\P\left( {40;0} \right) = 1600000\end{array} \right.\)

Đáp án : A