Đề bài

Cho \(\Delta ABC\) cân tại $A,$  hai đường cao $BD$  và $CE$  cắt nhau tại $I.$  Tia $AI$ cắt $BC$  tại $M.$  Khi đó \(\Delta MED\) là tam giác gì?

• A.

  Tam giác cân

• B.

  Tam giác vuông cân

• C.

  Tam giác vuông

• D.

  Tam giác đều.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+) Dựa vào tính chất của các đường cao trong tam giác.

+) Dựa vào tính chất của tam giác cân.

+) Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền.

Lời giải chi tiết :

Xét \(\Delta ABC\) có $BD$  và $CE$  là hai đường cao cắt nhau tại $I$ suy ra $AI$  là đường cao của tam giác đó.

Mà $AI$  cắt $BC$  tại $M$  nên \(AM \bot BC\).

Vì \(\Delta ABC\) cân tại $A$  (gt) nên $AM$  là đường cao cũng chính là đường trung tuyến của tam giác đó. (tính chất của tam giác cân).

\( \Rightarrow BM = MC\) (tính chất đường trung tuyến)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}CE \bot AB\\BD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {BEC} = \widehat {BDC} = {90^0}\).

Xét \({\Delta}BEC\) có $M$  là trung điểm của $BC$ nên suy ra $EM$  là trung tuyến của \({\Delta}BEC\)

\( \Rightarrow EM = \dfrac{{BC}}{2}\left( 1 \right)\) (tính chất trung tuyến của tam giác vuông)

Xét \({\Delta}BDC\) có $M$  là trung điểm của $BC$  nên $DM$  là trung tuyến của \({\Delta}BDC\)

\( \Rightarrow DM = \dfrac{{BC}}{2}\left( 2 \right)\) (tính chất trung tuyến của tam giác vuông)

Từ \(\left( 1 \right)\left( 2 \right) \Rightarrow EM = DM \Rightarrow \Delta EMD\) cân tại $M$  (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).