Đề bài

Cho $\Delta ABC$ nhọn, đường cao $AH.$  Lấy điểm $D$ sao cho $AB$  là trung trực của $HD.$  Lấy điểm $E$  sao cho $AC$  là trung trực  của $HE.$  Gọi $M$  là giao điểm của $DE$  với $AB,N$ là giao điểm của $DE$  với $AC.$  Chọn câu đúng.

• A. $\Delta ADE$ là tam giác cân
• B. $HA$  là tia phân giác của $\widehat {MHN}$.
• C. A, B đều đúng
• D. A, B đều sai

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng và tính chất hai tam giác bằng nhau..

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Vì $AB$  là đường trung trực của $HD$  (gt) $\Rightarrow AD = AH$ (tính chất trung trực của đoạn thẳng)

Vì $AC$  là đường trung trực của $HE$  (gt) $\Rightarrow AH = AE$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

$\Rightarrow AD = AE \Rightarrow \Delta ADE$ cân tại $A.$ Nên A đúng.

 +) $M$  nằm trên đường trung trực của $HD$  nên $MD = MH$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Xét $\Delta AMD$ và $\Delta AMH$ có:

$AM$  chung.

   $AD = AH$ (cmt)

    $MD = MH$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta AMD = \Delta AMH\left( {c - c - c} \right) \Rightarrow \widehat {MDA} = \widehat {MHA}$ (2 góc tương ứng)

Lại có, $N$  thuộc đường trung trực của $HE$ nên $NH = NE$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng).

+) Xét $\Delta AHN$ và $\Delta AEN$ có:

$AN$ chung

$AH = AE$ (cmt)

$NH = NE$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta AHN = \Delta AEN\left( {c - c - c} \right)$

$\Rightarrow \widehat {NHA} = \widehat {NEA}$ (2 góc tương ứng)

Mà $\Delta ADE$ cân tại $A$ (cmt) $\Rightarrow \widehat {MDA} = \widehat {NEA} \Rightarrow \widehat {MHA} = \widehat {NHA}$ .

Vậy $HA$  là đường phân giác của $\widehat {MHN}$ .

Đáp án : C