Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat C > \widehat B\) (\(\widehat B,\,\widehat C\) là các góc nhọn). Vẽ phân giác \(AD.\) So sánh \(BD\) và \(CD.\)

• A.

  Chưa đủ điều kiện để so sánh

• B.

  \(BD = CD\)

• C.

  \(BD < CD\)

• D.

  \(BD > CD\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AC = AE.\)

+ So sánh $CD$ với \(DE\) bằng cách sử dụng hai tam giác bằng nhau

+ So sánh $DE$ với \(BC\) theo quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác

+ Từ đó so sánh \(CD\) và \(BD.\)

Lời giải chi tiết :

Từ đề bài \(\widehat C > \widehat B \Rightarrow AB > AC.\) Trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AC = AE.\)

Xét tam giác \(ACD\) và tam giác \(AED\) có

+ \(AC = AE\)

+ \(\widehat {CAD} = \widehat {DAB}\) (tính chất tia phân giác)

+ Cạnh \(AD\) chung

Suy ra \(\Delta ACD = \Delta AED\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow DE = CD\,\,\left( 1 \right)\) và \(\widehat {AED} = \widehat {ACD}\)

Mà \(\widehat {ACD}\) là góc nhọn nên \(\widehat {AED}\) là góc nhọn, suy ra \(\widehat {BED} = 180^\circ  - \widehat {AED}\)  là góc tù, do đó \(\widehat {BED} > \widehat {EBD}\)

Xét tam giác \(BED\) có \(\widehat {BED} > \widehat {EBD}\) suy ra \(BD > DE\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right);\left( 2 \right)\) suy ra \(DC < BD.\)