Đề bài

Người ta cần chế tạo các món quà lưu niệm bằng đồng có dạng khối chóp tứ giác đều, được mạ vàng bốn mặt bên và có thể tích bằng \(16 cm^3.\) Diện tích mạ vàng nhỏ nhất của khối chóp bằng bao nhiêu \(cm^2\)? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.)

Đáp án: 

$?$

$cm^3$

Đáp án

Đáp án: 

$831$

$cm^3$

Phương pháp giải

Bước 1: Giả sử chóp tứ giác đều là \(S.ABCD\). Gọi \(O = AC \cap BD\), đặt \(AB = x\,\,\left( {x > 0} \right)\), tính \(SO\) theo \(x\).

Bước 2: Gọi M là trung điểm của CD.  Tính \(SM\) theo \(x\), từ đó tính \({S_{\Delta SCD}}\) theo \(x\).

Bước 3: Để diện tích mạ vàng nhỏ nhất thì \({S_{\Delta SCD}}\) nhỏ nhất. Sử dụng BĐT Cauchy tìm GTNN.

Bước 1: Giả sử chóp tứ giác đều là \(S.ABCD\). Gọi \(O = AC \cap BD\), đặt \(AB = x\,\,\left( {x > 0} \right)\), tính \(SO\) theo \(x\).

Giả sử chóp tứ giác đều là \(S.ABCD\). Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Đặt \(AB = x\,\,\left( {x > 0} \right)\) ta có \({S_{ABCD}} = {x^2}\) \( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{x^2} = 16 \Leftrightarrow SO = \dfrac{{48}}{{{x^2}}}\).

Bước 2: Gọi M là trung điểm của CD.  Tính \(SM\) theo \(x\), từ đó tính \({S_{\Delta SCD}}\) theo \(x\).

Gọi M là trung điểm của CD ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot OM\\CD \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow CD \bot SM\).

Ta có \(OM = \dfrac{1}{2}AD = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{x}{2}\), áp dụng định lí Pytago ta có: \(SM = \sqrt {S{O^2} + O{M^2}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{48}}{{{x^2}}}} \right)}^2} + \dfrac{{{x^2}}}{4}} \).

\( \Rightarrow {S_{\Delta SCD}} = \dfrac{1}{2}SM.CD = \dfrac{1}{2}\sqrt {{{\left( {\dfrac{{48}}{{{x^2}}}} \right)}^2} + \dfrac{{{x^2}}}{4}} .x = \dfrac{1}{2}\sqrt {\dfrac{{{{48}^2}}}{{{x^2}}} + \dfrac{{{x^4}}}{4}} \).

Bước 3: Tìm GTNN của diện tích mạ vàng.

Để diện tích mạ vàng nhỏ nhất thì \({S_{\Delta SCD}}\) nhỏ nhất \( \Rightarrow \dfrac{{{{48}^2}}}{{{x^2}}} + \dfrac{{{x^4}}}{4}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có \(\dfrac{{{{48}^2}}}{{{x^2}}} + \dfrac{{{x^4}}}{4} = \dfrac{{1152}}{{{x^2}}} + \dfrac{{1152}}{{{x^2}}} + \dfrac{{{x^4}}}{4} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{{1152}}{{{x^2}}} + \dfrac{{1152}}{{{x^2}}} + \dfrac{{{x^4}}}{4}}} \)\(\ge 3.\sqrt[3]{331776}\) (BĐT Cauchy).

Vậy diện tích mạ vàng nhỏ nhất là \(4.3.\sqrt[3]{331776}\approx 831\,c{m^3}\).

Mở rộng

Hình chóp đều

Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.

Chú ý:

- Khi đáy của hình chóp đều lần lượt là tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều, lục giác đều, ta gọi hình chóp đều đó là hình chóp tam giác đều, hình chóp tứ giác đều, hình chóp ngũ giác đều, hình chóp lục giác đều.

- Hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy là tứ diện đều.

* Chân đường cao của hình chóp đều là tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy.

Bất đẳng thức Cauchy

Cho ba số a, b, c không âm. Khi đó: \(\frac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}\).