Đề bài

Đề mẫu ĐGNL HN 2021

Hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right) = {x^3} - \dfrac{{29}}{8}{x^2} + \dfrac{9}{4}x + \dfrac{3}{8}$, $\forall x\, \in \,\mathbb{R}$. Gọi $S$ là tập hợp các điểm cực tiểu của hàm số $g\left( x \right) = f\left( {2x + 1} \right) - {x^3}.$ Tổng giá trị các phần tử của $S$ bằng

• A. $\dfrac{{ - 1}}{2}$
• B. $\dfrac{1}{2}$
• C. $2$  
• D. $1$

Phương pháp giải

Bước 1: Tính $g'\left( x \right)$, $g''\left( x \right)$

Bước 2: Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}g'\left( x \right) = 0\\g''\left( x \right) > 0\end{array} \right.$ tìm điểm cực tiểu của hàm số.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Bước 1:

Ta có

$\begin{array}{l}g'\left( x \right) = 2f'\left( {2x + 1} \right) - 3{x^2}\\ = 2\left[ {{{\left( {2x + 1} \right)}^3} - \dfrac{{29}}{8}{{\left( {2x + 1} \right)}^2} + \dfrac{9}{4}\left( {2x + 1} \right) + \dfrac{3}{8}} \right] - 3{x^2}\\ = 2\left( {8{x^3} + 12{x^2} + 6x + 1 - \dfrac{{29}}{8}\left( {4{x^2} + 4x + 1} \right) + \dfrac{9}{4}\left( {2x + 1} \right) + \dfrac{3}{8}} \right) - 3{x^2}\\ = 16{x^3} + 24{x^2} + 12x + 2 - 29{x^2} - 29x - \dfrac{{29}}{4} + 9x + \dfrac{9}{2} + \dfrac{3}{4} - 3{x^2}\\ = 16{x^3} - 8{x^2} - 8x\end{array}$

$\Rightarrow g''\left( x \right) = 48{x^2} - 16x - 8$.

Bước 2:

Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}g'\left( x \right) = 0\\g''\left( x \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}16{x^3} - 8{x^2} - 8x = 0\\48{x^2} - 16x - 8 > 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$.

$\Rightarrow S = \left\{ {0;1; - \dfrac{1}{2}} \right\}$. Vậy tổng các phần tử của $S$ là $0 + 1 + \left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{2}$.

Đáp án : B