Đề bài

Lập phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua M(2;7) và cách N(1;2) một khoảng bằng 1.

• A. $12x - 5y + 11= 0$
• B. $x - 5y + 11 = 0$
• C. $12x - 5y + 11 = 0$ và \(x-2=0\)
• D. $19x - 5y + 11 = 0$

Phương pháp giải

+ Đặt \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) là VTPT của \(\Delta\).

+ Viết phương trình \(\Delta\) đi qua M và có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) thì \(\left( \Delta  \right):ax + by - 2a - 7b = 0\).

+ Sử dụng công thức khoảng cách và biến đổi đưa về phương trình ẩn \(a,b\) là \(10ab + 24{b^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\5a =  - 12b\end{array} \right.\)

+ Chọn a, b thỏa mãn rồi kết luận phương trình đường thẳng.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Phương trình tổng quát của \(\Delta \) là \(a(x - {x_0}) + b(y - {y_0}) = 0\) với \(\overrightarrow n (a;b)\) là vecto pháp tuyến của \(\Delta \), điểm có tọa độ \(({x_0};{y_0})\) thuộc \(\Delta \).

Vì điểm M(2;7) thuộc \(\Delta \) nên ta có \(a(x - 2) + b(y - 7) = 0 \Leftrightarrow ax + by - 2a - 7b = 0\).

Khoảng cách từ N(1;2) đến \(\Delta \) bằng 1 nên ta có:

\(d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a.1 + b.2 - 2a - 7b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| { - a - 5b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 1 \Leftrightarrow \left| { - a - 5b} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

\( \Leftrightarrow {\left( { - a - 5b} \right)^2} = {a^2} + {b^2} \Leftrightarrow {a^2} + 10ab + 25{b^2} = {a^2} + {b^2} \Leftrightarrow 24{b^2} + 10ab = 0\)

\( \Leftrightarrow 24{b^2} + 10ab = 0 \Leftrightarrow 2b(12b + 5a) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\12b =  - 5a\end{array} \right.\)

TH1: b = 0, chọn a = 1. Ta được phương trình của \(\Delta \):

\(1.x + 0.y - 2.1 - 7.0 = 0 \Leftrightarrow x - 2 = 0\).

TH2: Chọn a = 12, suy ra b = -5. Ta được phương trình của \(\Delta \):

\(12.x - 5.y - 2.12 - 7.( - 5) = 0 \Leftrightarrow 12x - 5y + 11 = 0\).

Đáp án : C