Đề bài

Trong tam giác $ABC$  có

• A. \({m_a} = \dfrac{{b + c}}{2}\)        
• B. \({m_a} < \dfrac{{b + c}}{2}\)        
• C. \({m_a} > \dfrac{{b + c}}{2}\)        
• D. \({m_a} = b + c\)

Phương pháp giải

Sử dụng công thức trung tuyến \(m_a^2 = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}\) và xét hiệu \(m_a^2 - {\left( {\dfrac{{b + c}}{2}} \right)^2}\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có:

\(m_a^2 - {\left( {\dfrac{{b + c}}{2}} \right)^2} = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} - \dfrac{{{b^2} + {c^2} + 2bc}}{4} = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2} - 2bc}}{4} = \dfrac{{{{(b - c)}^2} - {a^2}}}{4}\)

Trong tam giác ta có \(|b - c| < a\) suy ra \({(b - c)^2} < {a^2}\).

Do đó \(\dfrac{{{{(b - c)}^2} - {a^2}}}{4} < 0 \Rightarrow m_a^2 - {\left( {\dfrac{{b + c}}{2}} \right)^2} < 0\).

Vậy \({m_a} < \dfrac{{b + c}}{2}\)

Đáp án : B