Đề bài

Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên dương của \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 3\left( {2m + 1} \right){x^2} + \left( {12m + 5} \right)x + 2\) đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right).\) Số phần tử của \(S\) bằng:

• A. \(1\)
• B. \(2\)
• C. \(3\)
• D. \(0\)

Phương pháp giải

Hàm số \(y = f\left( x \right)\)  đồng biến trên \(\left( {a;\;b} \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0\;\;\forall x \in \left( {a;\;b} \right).\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

\(y' = 3{x^2} - 6(2m + 1)x + 12m + 5\).

Hàm số động biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) khi \(y' \ge 0\), \(\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\).

Khi đó \(3{x^2} - 6(2m + 1)x + 12m + 5 \ge 0\)

\( \Leftrightarrow m \le \frac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{12\left( {x - 1} \right)}}\) \(\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\).

Xét hàm số \(g(x) = \frac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{12\left( {x - 1} \right)}}\) \(\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\).

\(g'(x) = \frac{{3{x^2} - 6x + 1}}{{12{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0\) \(\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\) nên hàm số g(x) đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Do đó \( \Leftrightarrow m \le g(x)\), \(\forall x \in \left( {2; + \infty } \right) \Rightarrow m \le g(2) \Leftrightarrow m \le \frac{5}{{12}}\).

Vì m nguyên dương và \(m \le \frac{5}{{12}}\) nên không có giá trị m nào thỏa mãn.

Đáp án : D