Đề bài

Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a$. Khi đó $\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right| bằng $

• A. $a\sqrt 3 $.
• B. $\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
• C. $2a$.
• D. $a$.

Phương pháp giải

- Dựng hình bình hành \(ABDC\) và áp dụng quy tắc hình bình hành để tìm tổng $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} $.

- Tính độ dài véc tơ tìm được ở trên dựa vào tính chất tam giác đều.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Dựng hình bình hành \(ABDC\) và gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).

Ta có: $\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD = 2AM$.

Trong tam giác đều \(ABC\) có \(AM\) là trung tuyến cũng là đường cao nên \(AM \bot BC,MB = MC = \dfrac{a}{2}\).

Ta có:

\(A{M^2} + M{B^2} = A{B^2}\) \( \Leftrightarrow A{M^2} + {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = {a^2}\) \( \Leftrightarrow A{M^2} = {a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}\) \( \Leftrightarrow A{M^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4}\) \( \Leftrightarrow AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy \(AD = 2AM = 2.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).

Đáp án : A