Đề bài

Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y \le 2\\3x + 5y \le 15\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?

• A. Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tứ giác \(ABCO\) kể cả các cạnh với \(A\left( {0;3} \right)\), \(B\left( {\dfrac{{25}}{8};\dfrac{9}{8}} \right)\), \(C\left( {2;0} \right)\) và \(O\left( {0;0} \right)\).
• B. Đường thẳng \(\Delta :x + y = m\) luôn có giao điểm với miền nghiệm của hệ với mọi giá trị của \(m\).
• C. Giá trị lớn nhất của biểu thức \(x + y\) , với \(x\) và \(y\) thỏa mãn hệ bất phương trình đã cho là \(\dfrac{{17}}{4}\).
• D. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(x + y\) , với \(x\) và \(y\) thỏa mãn hệ bất phương trình đã cho là $0$.

Phương pháp giải

- Biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình trên cùng một hệ trục tọa độ.

- Xét tính đúng sai của từng đáp án và kết luận.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Trước hết, ta vẽ bốn đường thẳng:

     \(\left( {{d_1}} \right):x - y = 2\)

     \(\left( {{d_2}} \right):3x + 5y = 15\)

     \(\left( {{d_3}} \right):x = 0\)

     \(\left( {{d_4}} \right):y = 0\)

- Miền nghiệm là phần không bị gạch, kể cả biên nên A đúng.

- Đáp án B sai vì nếu \(m = 5\) ta vẽ đường thẳng \(x + y = 5\) sẽ không có giao điểm với miền nghiệm của hệ.

- Ta sẽ tìm GTLN, GTNN của biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = x + y\) với \(\left( {x;y} \right)\) là nghiệm của hệ.

Ta có:

\(\begin{array}{l}F\left( {0;3} \right) = 0 + 3 = 3,F\left( {\dfrac{{25}}{8};\dfrac{9}{8}} \right) = \dfrac{{25}}{8} + \dfrac{9}{8} = \dfrac{{17}}{4},\\F\left( {2;0} \right) = 2 + 0 = 2,F\left( {0;0} \right) = 0 + 0 = 0\end{array}\)

Đáp án : B

Chú ý

GTLN, GTNN của biểu thức \(x + y\) đạt được tại một trong các đỉnh của tứ giác.