Đề bài

Hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}m\left( {mx - 1} \right) < 2\\m\left( {mx - 2} \right) \ge 2m + 1\end{array} \right.\) có nghiệm khi và chỉ khi:

• A. \(m < \dfrac{1}{3}.\)
• B. \(0 \ne m < \dfrac{1}{3}.\)
• C. \(m \ne 0.\)
• D. \(m < 0.\)

Phương pháp giải

- Kiểm tra hệ có nghiệm với \(m = 0\).

- Xét \(m \ne 0\), hệ có nghiệm nếu và chỉ nếu tập nghiệm của hai bất phương trình giao nhau khác rỗng.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Hệ bất phương trình tương đương với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2}x < m + 2}\\{{m^2}x \ge 4m + 1}\end{array}} \right.\).

- Với \(m = 0\), ta có hệ bất phương trình trở thành \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0x < 2}\\{0x \ge 1}\end{array}} \right.\): hệ bất phương trình vô nghiệm.

- Với \(m \ne 0\), ta có hệ bất phương trình tương đương với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < \dfrac{{m + 2}}{{{m^2}}}}\\{x \ge \dfrac{{4m + 1}}{{{m^2}}}}\end{array}} \right.\).

Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\dfrac{{m + 2}}{{{m^2}}} > \dfrac{{4m + 1}}{{{m^2}}} \Leftrightarrow m < \dfrac{1}{3}\).

Vậy \(0 \ne m < \dfrac{1}{3}\) là giá trị cần tìm.

Đáp án : B